Unterräume U1, U2 ≤ V. Überprüfe, ob U1 n U2 bzw U1 u U2 Unterräume von V sind.

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Unterräume U1, U2 ≤ V. Überprüfe, ob U1 n U2 bzw U1 u U2 Unterräume von V sind.

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ullim · Answer 1 · 2014-05-07T08:33:15+0000

Hi,

fangen wir mit $$ U_1\cap U_2 $$ an. Der Durchschnitt ist nicht leer, da U₁ und U₂ jeweils das Nullelement enthalten, und damit liegt das Nullelement auch im Durchschnitt. Wenn $$ x,y \in U_1 \cap U_2 $$ gilt, folgt $$ x,y \in U_1 \quad { und }\quad x,y \in U_2 $$ damit ist $$ x+y \in U_1 \text { und } \lambda x\in U_1 $$ und das gleiche gilt für U₂. Damit liegt die Summe von x+y und das vilefache von x auch im Durchschnitt von U₁ und U₂.

Nun zur Vereinigungsmenge.

Wenn die Vereinigungsmenge von U₁ und U₂ ein Vektorraum ist und wenn U₁ nicht Teilmenge von U₂ ist oder umgekehrt, dann gibt es ein Element $$ x \in U_1 $$ das nicht in U₂ liegt. Und es gibt ein Element $$ y \in U_2 $$ das nicht in U₁ liegt. Die Summe von x+y liegt in der Vereinigungsmenge von U₁ und U₂, da die Vereinigungsmenge ja ein Untervektorraum ist. x+y kann aber nicht in U1 liegen weil sonst auch x+y-x=y in U₁ liegen müsste. Und x+y kann nicht in U₂ liegen, weil sonst x+y-y=x in U₂ liegen müsste. Da aber x+y in der Vereinigungsmenge liegt ist dies ein Widerspruch. Also ist dei Vereinigungsmenge nur dann ein Untervektorraum, wenn entweder U₁ Teilmenge von U₂ oder umgekehrt ist.

Unterräume U1, U2 ≤ V. Überprüfe, ob U1 n U2 bzw U1 u U2 Unterräume von V sind.

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