Zeigen Sie, dass der Vertrag mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0,8 zustande kommt (Stochastik/Bernoulli)

Question

Aufgabe:

Eine Baumarktkette plant eine größere Abnahme, verlangt jedoch vor Vertragsabschluss die folgende zweistufige Qualitätskontrolle der laufenden Produktion:

Zunächst wird eine Stichprobe vom Umfang 10 genommen. Sind darunter mindestens 2 defekte Geräte, kommt der Vertrag nicht zustande. Im anderen Fall wird zusätzlich eine zweite Stichprobe vom Umfang 10 genommen. Enthalten erste und zweite Stichprobe zusammen weniger als 3 defekte Geräte, kommt der Vertrag zustande, ansonsten wird dieser nicht geschlossen.

Zeigen Sie, dass der Vertrag mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0,8 zustande kommt.

Lösung:

Betrachtet werden die Zufallsgrößen

$\mathrm{X}_{1}$ : Anzahl der defekten Geräte in der 1. Probe

$\mathrm{X}_{2}$ : Anzahl der defekten Geräte in der 2. Probe Beide sind $B_{10 ; 0,05}$-verteilt. Aus der

Unabhängigkeit der Ergebnisse der Zufallsversuche ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass der Vertrag auf Basis der Qualitätskontrolle geschlossen wird:

$P($ Vertragsabschluss $)=$ $P\left(X_{1}=0\right) \cdot P\left(X_{2} \leq 2\right)+P\left(X_{1}=1\right) \cdot P\left(X_{2} \leq 1\right)$

Answer 1

In der ersten Stichprobe ist kein defektes Teil und in der zweiten höchstens 2

COMB(10, 0)·0.05⁰·0.95^{10 - 0} · ∑(COMB(10, k)·0.05^k·0.95^{10 - k}, k, 0, 2) = 0.5918

 

In der ersten Stichprobe ist ein defektes Teil und in der zweiten höchstens ein weiteres.

COMB(10, 1)·0.05¹·0.95^{10 - 1} · ∑(COMB(10, k)·0.05^k·0.95^{10 - k}, k, 0, 1) = 0.2880

P = 0.5918 + 0.2880 = 0.8798

COMB(n, k) ist dabei der Binomialkoeffizient (n über k).