Bei der Antwort von Ulli ist mir nämlich überhaupt nicht klar, seit Wann man n ^ 1/3 und n ^ 1/2 zu n ^ 1/5 zusammen ziehen darf.
Hier der hat einen bösen Bug. Hab ich mich schon oft drüber geärgert. Meine Originalantwort wenn ich rein stellen will, lädt der für die NSA irgendwelchen geheimen Binärcode und sagt äätsch bäätsch; 8 000 Zeichen überschritten. Die Frage lautet so ähnlich, " Differenz von zwei Wurzeln , 8n " Da ist auch ein Bild von Ernie und Bert drin; hier wie kann ich diesen Bug umschiffen?
F ( x ) := sqr ( x + x ^ 1/3 ) - sqr ( x - x ^1/2 ) ( 1 )
In meiner Antwort - ich hoffe du findest sie - mache ich dich mit der z-Transformation vertraut; nennen wir sie LG-Transformation. L wie L-y-c-o-s und G wie Godzilla.
Dort sage ich dir, wie du an ( 1 ) ran gehst - keine falsche Scham. Die LG-Transformation lautet
x ^ k =: 1 / z ^ n ( 2a )
Dabei ist k die höchste Potenz, die in x vorkommt - also k = 1 Und n ist die Ordnung der Wurzel ( n = 2 für Quadratwurzel )
k = 1 ; n = 2 ===> x := 1 / z ² ( 2b )
x ^ 1/2 = 1 / z ( 2c )
x ^ 1/3 = 1 / z ^ 2/3 ( 2d )
( 2b-d ) ein füttern in ( 1 ) ergibt
F ( x ) = F ( z ) = ( 1/z ) [ sqr ( 1 + z ^ 4/3 ) - sqr ( 1 - z ) ] ( 3 )
Die Politik nesteht immer darin, dass du im Nenner " z hoch Eins " raus bekommst - ist das so weit klar? Und jetzt gehe ich her und definiere die eckige Klammer als Funktion f ( z )
f ( z ) := sqr ( 1 + z ^ 4/3 ) - sqr ( 1 - z ) ( 4a )
f ( 0 ) = 0 ( 4b )
Insbesondere wegen ( 4b ) ist doch ( 3 ) nichts anderes als der Differenzenquotient von ( 4a ) , genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Und em sein Grenzwert ist die Ableitung f ' ( 0 )
" Das war alles " , pflegte unser weit hin gefürchteter Mathelehrer " Rolf " zu sagen, wenn er die Verbesserung der Klausur besprochen hatte und alle wieder mal ihre Fünfer kassiert hatten ...
f ' ( z ) = 2 z ^ 1/3 / 3 sqr ( 1 + z ^ 4/3 ) + 1 / 2 sqr ( 1 - z ) ( 4b ) ===> f ' ( 0 ) = 1/2 ( 4b )
