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Aufgabe 4 (Matrizen und Kommutativität).

(a) Bestimmen Sie alle Matrizen der Form

A=(abcd),a,b,c,dR A=\left(\begin{array}{ll} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{array}\right), \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}

für die gilt:

A(1011)=(1011)A A\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right) A

(b) Man sagt, eine n×n n \times n Matrix M M kommutiert mit einer n×n n \times n Matrix N, N, wenn MN=NM. M N=N M . Bestimmen Sie alle reellen 2×2 2 \times 2 Matrizen, die mit jeder reellen 2×2 2 \times 2 Matrix kommutieren.

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Titel: Bestimmen Sie alle reellen 2 2 Matrizen, die mit jeder reellen 2 2 Matrix kommutieren.

Stichworte: matrix

Aufgabe (Matrizen und Kommutativität):

(a) Bestimmen Sie alle Matrizen der Form

A=(abcd),a,b,c,dR A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right), \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}

für die gilt:

A(1011)=(1011)A A\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) A

(b) Man sagt, eine n×n n \times n Matrix M M kommutiert mit einer n×n n \times n Matrix N N , wenn MN=NM M N=N M . Bestimmen Sie alle reellen 2×2 2 \times 2 Matrizen, die mit jeder reellen 2×2 2 \times 2 Matrix kommutieren.

1 Antwort

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[a, b; c, d]·[1, 0; 1, 1] = [1, 0; 1, 1]·[a, b; c, d]

b = 0 und a = d

[a, 0; c, a]


[a, b; c, d]·[e, f; g, h] = [e, f; g, h]·[a, b; c, d]
[a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h] = [a·e + c·f, b·e + d·f; a·g + c·h, b·g + d·h]

b = c = 0

a = d

[a, 0; 0, a]
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Warum b=c= 0?

Du brauchst ja nur die Gleichungen für

[a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h] = [a·e + c·f, b·e + d·f; a·g + c·h, b·g + d·h]

aufstellen

a·e + b·g = a·e + c·f --> b·g = c·f --> Was muss ich hier für b und c einsetzen, sodass diese Gleichung immer erfüllt ist?

a·f + b·h = b·e + d·f

c·e + d·g = a·g + c·h

c·f + d·h = b·g + d·h --> c·f = b·g --> Das liefert die gleiche Bedingung wie die erste Gleichung.

wie komme ich auf b=c=0 ?

Ich verstehe das nicht

b·g = c·f

Was musst du hier für b und c einsetzen, damit die Gleichung immer erfüllt ist ?

Probier mal 7 und 8

7·g = 8·f

Nö. Also das passt nicht. Probier also alle Zahlen durch. Was kann ich einsetzen.

Wann ist eine Gleichung erfüllt. Muss ich das nicht nach b und c auflösen?

Nach was willst du auflösen? Nach b oder nach c? Nach beiden Gleichzeitig geht doch schlecht.

warum in b.g = c.f sind b und c gleich 0 und nicht g und f .

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