Wie beweist man die Konvergenz (Folge)?

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Es ist die Konvergenz der Folge an = (3n+1)/(2n-5) zu dem Grenztwert lim an = 1,5 zu beweisen.

n → unendlich

Kernproblem

Wie geht es nun weiter? Die Betragsklammer kann man ja leider nicht einfach weg lassen, da für bestimmte n Werte der Nenner negativ wird. Muss man nun eine Fallunterscheidung durchführen, wenn ja wie? Was würde man machen, wenn auch der Zähler für bestimmte Werte von n negativ würde?

Gefragt 14 Jul 2012 von Gast ih1788

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Nein, da musst du keine Fallunterscheidung machen.

Die zu beweisende Aussage ist ja nur, dass es ein n0 gibt, sodass für alle n>n0 die Ungleichung erfüllt ist.

Für n>=2,5 ist der Term in den Betragsstrichen aber größer als 0 (für n<=2,5 existieren ja nur zwei Folgenwerte; da schon von einem Grenzwert zu sprechen ist etwas übereilt. Dort wird die Ungleichung nur für sehr große ε bereits erfüllt sein: das interessiert uns aber kaum. Also könntest du einfach eine Zeile dazu schreiben, "Betrachte ε<<1:" da die Ungleichung erst für sehr kleine ε interessant ist.


Du kannst dann die Betragsstriche einfach weglassen, damit erhälst du:

 

n > (17+10ε)/4ε

 

Woraus du für ein gegebens Epsilon direkt das benötigte n berechnen kannst.

Beantwortet 14 Jul 2012 von Julian Mi Experte X

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