Aufgaben zu Grenzwert und Konvergenz. Bsp: an := (3n-1)/(2n+ 2) * i^n

Question

Aufgaben:

Untersuchen Sie die Folge (an) auf Konvergenz und ermitteln Sie gegebenenfalls den Grenzwert der Folge:

1. Aufgabe
a_n :=  (n² - 2) / √(n⁴+n²)

\( \frac{n^{2}-2}{\sqrt{n^{4}+n^{2}}} \)

Mein Ansatz :

(n² - 2) / √(n⁴ + n^{2 )} = ( n² - 2 )/ (n² + n)

NR: n²/n² = n , also ist der Grenzwert 0

⇒ lim_n↦∞ (n * (- 2/n)) = lim_n↦∞ n * lim_n↦∞ (-2/n) = 0 * 0 = 0

Also ist der Grenzwert 0.

2. Aufgabe

a_n := (2ni - 3) / (1- ⁿ√n)

\( \frac{2 n \cdot i-3}{1-\sqrt[n]{n}} \)

Hierzu weiss ich nur, dass der lim_n↦∞ ⁿ√n = 1

3. Aufgabe

n! / nⁿ

\( \frac{n !}{n^{n}} \)

Ein Freund von mir meinte die Lösung hier ist lim_n↦∞ = 0   Jedoch hat er mir nicht bewiesen warum...

4. Aufgabe

a_n := (3n-1)  / (2n+ 2) das ganze dann mal i^n

\( \frac{3 n-1}{2 n+2} \cdot i^{n} \)

Hierzu kann ich auch nichts sagen.

Answer 1

 

1. 
a_n :=  (n² - 2) / √(n⁴+n²)

 

Dein Ansatz : 1. Du darfst aus Summen nicht separate Wurzeln ziehen.

neue Umformung:

(n² - 2) / √(n⁴ + n^{2 )} = ( n² - 2 )/ √(n^4(1 + 1/n^2))

=  ( n² - 2 )/(n^2 √(1 + 1/n^2))

           |oben und unten durch n^2

= ( 1 -2/n^2) / √(1 + 1/n^2)

Jetzt n---> unendlich 

Grenzwert (1-0) / √(1+0) = 1/1 = 1.

Limeszeichen kannst du noch selbst anfügen. Halte dich unbedingt an die Notationen im Vorlesungsskript va. bei Brüchen, Limes… und an die dort benutzte Abstraktion.

Achtung: Deine Rechnung hatte noch einen weiteren Trugschluss drinn: NR: n²/n² = 1 , also ist der Grenzwert 1

⇒ lim_n↦∞ (n * (- 2/n)) = lim_n↦∞ n * lim_n↦∞ (-2/n) =Unendlich * 0 = 0 geht nicht!

Du musst dich unbedingt an die Bruchrechenregeln halten, ebenso an den üblichen Umgang mit Wurzeln.

Das war jetzt nur mal das Erste. Vielleicht kann jemand anders den Rest noch ansehen.

4. a_n := (3n-1)  / (2n+ 2) das ganze dann mal iⁿ

a_n := (3n-1)  / (2n+ 2) * iⁿ

        | Im Bruch n ausklammern

a_n = (n (3-1/n))  / (n(2+ 2/n)) * iⁿ

       | n kürzen

a_n = (3-1/n)  / (2+ 2/n)) * iⁿ

    ^|beide Faktoren sind beschränkt. Einzeln Limes berechnen

a_n = 3/2 * iⁿ           i^n gibt nun ein Problem, denn i^n ist zyklisch i,-1,-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i…

(a_n)_{n ELEMENT N} hat keinen Grenzwert, dafür 4 sogenannte Häufungspunkte 3/2, 3/2i, -3/2 und -3/2i. 

 

Comments

Danke schoen für deine Hilfe Lu! Ich glaub ich hab das jetzt einbisschen besser verstanden und kann auch nachvoll ziehen warum und wie man auf eine Lösung kommt! 

Du bist ein retter denn ich muss diese Aufgaben am Montag abgeben um Punkte zu bekommen :-/        Ich werde mir dann die Bruchrechenregeln und den Umgang mit Wurzeln nochmal in Ruhe anschauen!

Das einzige Problem ist mit den anderen Aufgaben, ich weiss nicht was man machen muss, wenn noch ein i dabei ist, ist das eine beliebige Zahl, die ich einfach waehlen kann? ( ich glaube nicht), oder ist sie i ggf. j , aus den komplexen Zahlen? 

Und wenn ja, wie geht man damit um?

Trotzdem danke schoen für deinen Beitrag, du warst sehr hilfreich!

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i ist die imaginäre Einheit. Es gilt i^2 = -1. Ansonsten Algebra wie normal.

Komplexe Zahlen: Formeln etc. bei https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen

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Ich habe oben noch etwas an 4. rumgebastelt. 2. und 3. müssten schon einen Bezug zu eurer Vorlesung haben.

Answer 2

zu 3. Die Konvergenz folgt aus Beschränktheit und Monotonie.
Wegen 0 ≤ n! / n^n ≤ 1/n ist der Grenzwert 0.
(Das muss man ggf. noch im Kontext der Vorlesung etwas ausführen.)