Zeigen Sie, dass (1,-1) und (1,0) linear unabhängig sind.

Question

Aufgaben:

a) Zeigen Sie: Die folgenden beiden Vektoren \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \) sind linear unabhängig und alle Vektoren des \( R^{2} \) lassen sich als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben..

b) Für welche reellen Zahlen s und \( \mathrm{t} \) sind die beiden Vektoren \( w_{1}=s\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \) und \( w_{2}=t\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \) linear unabhängig? Zur Unterstützung der Lösung können Sie ein Bild der beiden Vektoren für verschiedene Werte von s und \( \mathrm{t} \) in ein Koordinatensystem zeichnen.

c) Die gleiche Aussage allgemein formuliert: Gegeben ist ein Vektorraum \( \mathrm{V} \) und zwei linear unabhängige Vektoren \( v_{1}, v_{2} \).

Für welche reellen Zahlen s, t sind die beiden Vektoren

\( W_{1}=S V_{1}+v_{2} \)

sowie \( \quad \mathrm{w}_{2}=\mathrm{tv}_{1}+\mathrm{v}_{2} \)

wieder linear unabhängig?

Answer 1

a)

Zwei Vektoren v und w des R ² sind linear unabhängig, wenn die Gleichung

r * v + s * w = 0

als einzige Lösung r = s = 0 hat.

Also:

Mit v = ( 1 | - 1 ) und w = ( 1 | 0 )

ergibt sich die Gleichung:

r * ( 1 | - 1 ) + s ( 1 | 0 ) = ( 0 | 0 )

und diese führt auf das Gleichungssystem:

r * 1 + s * 1 = 0
- r * 1 + s * 0 = 0

<=>

r + s = 0
r = 0

<=>

0 + s = 0
r = 0

<=>

s = 0
r = 0

Also ist r = s = 0 die einzige Lösung der oben genannten Gleichung und somit sind die beiden Vektoren v und  w linear unabhängig.

 

Bei der zweiten Teilaufgabe von a ) ist zu zeigen:

Für alle Vektoren ( a | b ) des R ² existieren reelle Zahlen r und s, sodass gilt:

( a | b ) = r * ( 1 | - 1 ) + s * ( 1 | 0 )

<=>

r + s = a
- r + 0 = b

<=>

r + s = a
r = - b

<=>

- b + s = a
r = - b

<=>

s = a + b
r = - b

Also existieren reelle Zahlen r und s (nämlich r = - b und s = a + b) sodass sich jeder Vektor x = ( a | b ) als Linearkombination aus v = ( 1 | -1 ) und w = ( 1 | 0 ) darstellen lässt.

Beispiel:

x = ( a | b ) = ( - 25 | 7 )

=> r = - b = - 7 , s = a + b = - 18

und damit gilt:

r * v + s * w = x

denn

 - 7 * ( 1 | -1 ) + ( - 18 ) * ( 1 | 0 ) = ( - 25 | 7 ) 

 

b)

Es sind reelle Zahlen s und t zu bestimmen, sodass die Vektoren

w₁ = s ( 1 | - 1 ) + ( 1 | 0 ) = ( s + 1 | - s )
und
w₂ = t ( 1 | - 1 ) + ( 1 | 0 ) = ( t + 1 | - t )

linear unabhängig sind, dass also die Gleichung

a * w₁ + b * w₂ = 0

als einzige Lösung a = b = 0 hat.

Also:

a * w₁ + b * w₂ = 0

<=> 

a ( s + 1 | - s ) + b ( t + 1 | - t ) = ( 0 | 0 )

<=>

a s + a + b t + b = 0
- a s - b t = 0

<=>

a s + a + b t + b = 0
a s = - b t

<=>

- b t + a + b t + b = 0
a s = - b t

<=>

a + b = 0  
a s = - b t 

<=>

a = - b 
a s = a t 

<=>

s ≠ t und  a = b = 0

oder

s = t und a = - b
 

Somit sind die Vektoren

w₁ = ( s + 1 | - s )
und
w₂  = ( t + 1 | - t )

genau dann linear unabhängig, wenn s ≠ t ist, denn dann ist a = b = 0 die einzige Lösung der Gleichung

a ( s + 1 | - s ) + b ( t + 1 | - t ) = ( 0 | 0 )

 

c) muss ich noch dran knabbern .
Ich bin versucht zu sagen, dass auch hier die beiden Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn s ≠ t ist. Ganz sicher bin ich aber nicht ...