Stetigkeit von reellen Funktionen: f(x):= (x-1)/(x^2 + 1)

Question

Aufgabe:

a) Funktion : \( f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+1} \)

a1) Zeigen sie mittels \( \varepsilon-\delta \)-Kriteriium dass \( f \) in \( x_{0}=-1 \) stetig ist.

a2) Bestimmen Sie die Menge der Punkte in denen \( f \) stetig ist Begründen sie ihre Antwort.

b) Ist \( f:[0,1] \rightarrow R, f(x)=x^{2} \) Lipschitz-stetig?

c) reelle Funktion \( f: R \rightarrow R \) \( f(x):=\left\{\begin{array}{ll}1 & x \in Q \\ 0 & x \notin Q\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass diese Funktion in jedem Punkt \( x_{0} \) unstetig ist.

Bei a) die Definition für Stetigkeit ist mir klar, aber leider weiß ich nicht wie ich das für den Punkt x0 beweisen soll.

Bei b) wäre meine Antwort:

Die Funktion ist Lipschitz-stetig, denn \( |f(x)-f(y)|=\left|x^{2}-y^{2}\right|=|(x+y)(x-y)| \leq 2|x-y|, \quad \) denn \( x+y \leq 2 \) mit \( x, y \in[0,1] . \)

Bei c komm ich leider nicht weiter.

Comments

Versuche bei c) auszunutzen, dass in jeder Umgebung um eine irrationale Zahl eine rationale Zahl liegt und umgekehrt in jeder Umgebung um eine rationale Zahl auch eine irrationale Zahl liegt.

Damit kannst du die Epsilon-Delta-Definition zum Widerspruch führen.

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Danke. Meine Lösung zur b) stimmt so?

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Ja, das ist richtig.

Answer 1

Hi,

Aufgabe c)

zu jedem x und einer \( \delta \)-Umgebung für ein beliebiges \( \delta \gt 0 \) gibt es \( y \in \mathbb Q \) und \( y \notin \mathbb Q \) s.d. $$ |f(x)-f(y)|=|1-0|  $$ Wähle \( \epsilon=\frac{1}{2} \) dann sieht man das f nicht stetig ist.