Question

Für 0 ≤ x ≤ 1 und n ∈ N₀ gilt:

$$(1-x{ ) }^{ n }\le \frac { 1 }{ 1+nx } $$

Ich habe so angefangen und stecke fest:

I.A.: \( n=0 \) :

\( (1-x)^{0} \leq \frac{1}{1}\left\{\begin{array}{l}\text { Für } 0 \leq x<1 \Rightarrow 1 \leq \frac{1}{1} \text { ist wahr; } \\ \text { für } x=1 \Longrightarrow 0 \leq \frac{1}{1} \text { ist } w a h r ;\end{array}\right. \)

I. \( V: n=n+1 \)

\( (1-x)^{n+1} \leq \frac{1}{1+n x} \)

\( (1-x)^{n+1}=(1-x)^{n}(1-x)^{1} \)

\( \qquad \leq \frac{1}{1+n x}(1+x) \)

\( \qquad \leq(1+n x)^{-1}(1-x)^{1} \)

Answer 1

( 1 - x )  ⁰ ist für x = 1 nicht gleich 0 sondern gleich 1.

Im Induktionsschritt hast du dann vergessen, auch das n im Nenner des Bruches auf der rechten Seite des Ungleichheitszeichens um 1 zu erhöhen.
Richtig wäre es so:

Induktionsvoraussetzung:

Gelte für festes n :

$${ \left( 1-x \right)  }^{ n }\le \frac { 1 }{ 1+nx }$$

Induktionsbehauptung:

Dann gilt für n + 1:

$${ \left( 1-x \right)  }^{ n+1 }\le \frac { 1 }{ 1+(n+1)x }$$

Beweis:

$${ \left( 1-x \right)  }^{ n+1 }={ \left( 1-x \right)  }^{ n }(1-x)$$Induktionsvoraussetzung anwenden:$$ \le \frac { 1 }{ 1+nx } (1-x)$$$$=\frac { 1-x }{ 1+nx }$$Erweitern mit 1 + ( n + 1 ) x :$$=\frac { (1-x)(1+(n+1)x) }{ (1+nx)(1+(n+1)x) }$$Ausmultiplizieren und zusammenfassen:$$=\frac { 1+(n+1)x-x-(n+1){ x }^{ 2 } }{ (1+nx)(1+(n+1)x) }$$$$=\frac { 1+nx+x-x-(n+1){ x }^{ 2 } }{ (1+nx)(1+(n+1)x) }$$$$=\frac { 1+nx-(n+1){ x }^{ 2 } }{ (1+nx)(1+(n+1)x) }$$Da sowohl n + 1 als auch x ² gemäß Voraussetzung nicht negativ sind, ist
auch ( n + 1 ) x ² nicht negativ. Daher$$\le \frac { 1+nx }{ (1+nx)(1+(n+1)x) }$$Kürzen mit 1 + n x :$$=\frac { 1 }{ 1+(n+1)x }$$ q.e.d.