Grenzwert berechnen von f(x)=e^{-1/x²}

Question

ich muss für die Aufgabe: f(x)=e^{-1/x²} , x ist dabei ungleich 0

die Ableitung f (x) sowie die Grenzwerte lim (x->o) f(x) und lim (x->o) f (x) bestimmen.

Ich habe für die Ableitung f ´ die Kettenregel angewendet, so das ich als Ableitungsergebnis

f`(x) = e^{-x^-2} * 2x^-3

Bei den beiden Grenzwerten gehe ich davon aus, dass sie gegen 0 gehen, nur wie beweise bzw. begründe ich dies richtig?

Answer 1

Hi,

 

Deine Ableitung ist richtig.

 

Zu den Grenzwerten.

 

lim_x->0 f(x) = 0

das ist ebenfalls richtig. Das kann man direkt ablesen. Kannst ja vielleicht noch f(x) = e^-1/x² = 1/e^1/x² schreiben. Vielleicht sieht mans dann noch besser ;). Nenner geht gegen unendlich, damit  der Bruch selbst gegen 0.

 

lim_x->0 f'(x) = 0

Hier sieht man es nicht ganz so schnell. Du kannst das mit l'Hospital zeigen. Zweifache Anwendung diesem müsste ausreichen ;).

 

Grüße

Answer 2

Wenn du fast Null in die Funktion einsetzt geht der Exponent gegen minus Unendlich und damit der Funktionswert gegen Null.

Grenzwert der ersten Ableitung zu bilden ist etwas schwieriger. Ich lass das mal von Wolramalpha machen. Wenn etwas unklar sein sollte dann frag nochmal nach.

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Vielen Leiben Dank für deine Antwort, du hast mir sehr weiter geholfen! ;)