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Bei einem biologischen Experiment tritt eine bestimmte Erscheinung mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% auf. Wie of ist das Experiment durchzuführen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erwarten kann, die genannte Erscheinung wenigstens einmal beobachtet werden zu können?

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P("mindestens einmal")

= 1 - P ("genau 0 mal")

= 1 - ( n über 0 ) p 0 * ( 1 - p ) n

= 1 - ( 1 - p ) n

Das soll größer als 0,95 sein, also:

1 - ( 1 - p ) n ≥ 0,95

<=> 1 - 0,95 ≥ ( 1 - p ) n

<=> 0,05 ≥ ( 1 - p ) n

<=> log ( 0,05 ) ≥ log ( ( 1 - p ) n )

<=> log ( 0,05 ) ≥ n * log ( 1 - p )

Division durch log ( 1 - p ). Da log ( 1 - p ) negativ ist, kehrt sich dabei das Ungleichheitszeichen um:

<=> log ( 0,05 ) / log ( 1- p ) ≤ n

Mit p = 0,2:

<=> log ( 0,05 ) / log ( 0,8 ) ≤ n

<=> n ≥ 13,4

Also muss das Experiment  mindestens 14 mal durchgeführt werden, um die gewünsche Wahrscheinlichkeit von 95 % für das Auftreten der Erscheinung zu erreichen.

 

Anmerkung:

Ich habe gesehen, dass du inzwischen mehrere dieser Aufgabentypen mit "wenigstens einmal" angefragt hast. Du kannst alle derartigen Aufgaben mit der Formel:

n ≥ log ( 1 - W ) / log ( 1 - p )

lösen, wobei

W: das gewünschte Wahrscheinlichkeitsniveau ist (vorliegend W = 0,95) und 

p: die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des betrachteten Ereignisses ist ( vorliegend p = 0,2 ).

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