Realteil und Imaginärteil berechnen von (1+i)^3/(1-i)^5

Question

(1+i)³/(1-i)⁵

Kann mir jemand den Realteil und Imaginärteil berechnen?

Comments

ausmultipliziert:

(1+3i+3i^2+i^3)

-----------------------

(1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5)

Answer 1

Hi,

mit dem Ausmultiplizierten lässt sich doch gut was anfangen ;).

 

(1+i)³/(1-i)⁵ = (1+3i+3i^2+i^3) / (1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5)

= (1+3i-3-i) / (1-5i-10+10i+5-i) = (-2+2i) / (-4+4i) = (-2+2i) / (2(-2+2i)) = 1/2

 

Folglich -> 0,5+0i, also Realteil ist 0,5 und Imaginärteil 0.

 

Grüße

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Gerne ;)    .

Answer 2

Alternative (ohne Ausmultiplizieren), falls du die geometrischen Eigenschaften der Multplikation und Division von komplexen Zahlen schon kennen solltest.

Multiplikation: Argumente (Winkel) addieren und Beträge multiplizieren

Division: Argumente (Winkel) subtrahieren und Beträge dividieren

Arg(1+i) = 45° = π/4

|1+i| = √2

 

Arg(1-i) = -45° = -π/4

|1- i| = √2

(1+i)³/(1-i)⁵ = (√2)^3 e^{i3π/4}  / ((√2)^5 e^{-i5π/4})

= 1/2 * e^{i8π/4} = 1/2 * e^{i2π} = 1/2 * e^0 = 1/2

Re((1+i)³/(1-i)⁵) = 1/2

Im((1+i)³/(1-i)⁵) = 0