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Hallo :)
Ich übe gerade für einen Test- es geht um Integralrechnung:

"Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f, g und h im 1. Quadranten"
a) f(x) = x^2   g(x) = 6x   h(x)= -2x+8

b) f(x) = 1-(1/4)x^2   g(x)= -x^2-4x  h(x)= 3x-6

c) f(x) = -0.25x^2+x+3 g(x)= -0.5(x-4)^2  h(x)= -1.5x+3

-

Bei a) komme ich auf 36 FE, bei b) auf 7 1/3 FE und bei c) auf 22 2/3

Kann mir jemand vielleicht sagen, ob diese Ergebnisse stimmen?

Würde mich über sämtliche Denkanstöße freuen.

Dankeschön!! :)
von

1 Antwort

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Zu a)

Skizze:

Integral

 

f ( x ) = x 2

g ( x ) = 6x

h ( x ) = - 2 x + 8

Die drei Graphen schließen im ersten Quadranten zwei Flächen ein. Die Vereinigung dieser beiden Flächen ergibt die Fläche, die von den Graphen zu f ( x ) und g ( x ) eingeschlossen wird. Die Schnittpunkte dieser beiden Graphen haben die x-Koordinaten 0 bzw. 6.

Der Flächeninhalt A dieser Fläche ist (und somit der gesuchte Flächeninhalt) ist also:

$$A=\int _{ 0 }^{ 6 }{ 6x-{ x }^{ 2 }dx } ={ \left[ 3{ x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  }_{ 0 }^{ 6 }$$$$=(108-\frac { 216 }{ 3 } )-(0-0)=\frac { 108 }{ 3 }$$$$=36$$

Das Ergebnis stimmt mit deinem überein.

 

zu b)

Skizze:

Integral

f ( x ) = 1 - ( 1 / 4 ) x 2

g ( x ) = - x 2 - 4 x

h ( x ) = 3 x - 6

Die von den drei Graphen eingeschlossene, auf den ersten Quadranten beschränkte Fläche ist gleich der Fläche, die der Graph von f ( x ) mit der x-Achse im ersten Quadranten einschließt. Der Flächeninhalt A dieser Fläche ist:

$$A=\int _{ 0 }^{ 2 }{ 1-(1/4){ x }^{ 2 }dx } ={ \left[ x-\frac { 1 }{ 12 } { x }^{ 3 } \right]  }_{ 0 }^{ 2 }$$$$=(2-\frac { 2 }{ 3 } )-(0-0)$$$$=\frac { 4 }{ 3 }$$

Hier stimmt mein Ergebnis nicht mit deinem überein.

 

zu c)

Skizze:

Integral

f ( x ) = - 0.25 x 2 + x + 3

g ( x ) = - 0.5 ( x - 4 ) 2  

h ( x ) = - 1.5 x + 3

Der gesuchte Flächeninhalt A ist hier:

$$A=\int _{ 0 }^{ 2 }{ f(x)-h(x)dx+\int _{ 2 }^{ 6 }{ f(x)dx }  }$$$$=\int _{ 0 }^{ 2 }{ -\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 2 }+x+3+\frac { 3 }{ 2 } x-3dx+\int _{ 2 }^{ 6 }{ -\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 2 }+x+3dx }  }$$$$=\int _{ 0 }^{ 2 }{ -\frac { 1 }{ 4 } x^{ 2 }+\frac { 5 }{ 2 } xdx+\int _{ 2 }^{ 6 }{ -\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 2 }+x+3dx }  }$$$$={ \left[ -\frac { 1 }{ 12 } { x }^{ 3 }+\frac { 5 }{ 4 } { x }^{ 2 } \right]  }_{ 0 }^{ 2 }{ +\left[ -\frac { 1 }{ 12 } { x }^{ 3 }+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }+3x \right]  }_{ 2 }^{ 6 }$$$$=(-\frac { 8 }{ 12 } +5)-(0-0)+(-\frac { 216 }{ 12 } +18+18)-(-\frac { 8 }{ 12 } +2+6)$$$$=\frac { 52 }{ 12 } -0+18-\frac { 88 }{ 12 }$$$$=\frac { 180 }{ 12 }$$$$=15$$

Auch hier stimmt mein Ergebnis nicht mit deinem überein.

von 32 k
zu c.)
Einfacher wäre Integral f(x) zwischen 0 und 6
minus Integral h(x) zwischen 0 und 2
( wobei dies als Dreiecksfläche 2 * 3 / 2  ist )
mfg Georg
Grundsätzlich, also bei beliebigen Funktionen f und h finde ich den von dir beschriebenen Weg nicht wesentlich einfacher.
Vorliegend allerdings ist dein Weg wegen der einfach zu berechnenden Dreiecksfläche tatsächlich ein wenig einfacher.

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