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1.Aufgabe:

Zeige, dass K K ein Vektorraum über dem Körper Fp : =Z/pZ \mathbb{F}_{p}:=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z} für geeignetes p p ist (Hinweis: man benutze den Homomorphiesatz für Ringe).


2.Aufgabe:

Zeige, dass K K eine endliche Basis als Fp \mathbb{F}_{p} -Vektorraum besitzt.


3.Aufgabe:

Bestimme die Anzahl der Elemente in K K in Abhängigkeit von seiner Dimension als Fp \mathbb{F}_{p} -Vektorraum.

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Ich komm auch nicht damit klar, denn es wurde vergessen anzugeben was k hier eigentlich ist. Leider ist meine Glaskugel grade außerhäusig beim Polieren.

1 Antwort

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Der Ringhom. ZK,nn1\mathbb Z \to K ,\quad n\mapsto n \cdot 1 ist nicht injektiv, da K endlich und der Kern ist ein Primideal, da Z/Kern isomorph zu einem Unterring P von K. Daher Kern=(p) für eine Primzahl p. K ist ein Vektorraum über P mit der Addition in K und der Multiplikation in K, eingeschränkt auf Skalare aus P, als Skalarmultiplikation. Eine Basis kann nicht größer sein als der Vektorraum und jeder VR hat eine Basis. Sei also K n-dimensional. Damit K als VR über F_p isomorph zu (Z/pZ)n (\mathbb Z/p\mathbb Z)^n und die Menge hat p^n Elemente.
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