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Man Berechne das uneigentliche Integral 

0 {t/(t+1)(t2+1)}dt

TIPP-> Man bestimme die Partialebruchzerlegung

t/(t+1)(t2+1)=(a/t+1)+(bt+c/t2+1)

 

Ich verstehe nicht wie das mit der Partialen Bruchzerlegung funktioniert und ich bin mir unsicher  beim  uneigentlichen Integral wie kann man das denn berechnen?

 

über eine hilfreiche Antwort würde ich mich freuen!

lg flo

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Hi Flo,

für die Partialbruchzerlegung kannst Du auf jedenfall mal hier reinschauen:

https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung


Da habe ich mal ein paar Sachen zusammengefasst ;).

wie lautet deine Funktion ?

t / (t+1)  * (t2+1)

oder

t / [ ( t+1 )  * (t2+1)  ]

mfg Georg

Hallo Georgborn,


die Funktion lautet:


t / (t+1)  * (t2+1)
viele Grüße
Du meinst

\(\frac{t}{(t+1)(t^2+1)}\)

sonst passt Dein Tipp doch nicht ;).


Beachte, dass

t / (t+1)  * (t^2+1) \(= \frac{t}{t+1}\cdot(t^2+1)\)

2 Antworten

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Hi Flo,

den Vorgang der Partialbruchzerlegung selbst spare ich mir. Den Ansatz hast Du schon gegeben und wie damit umzugehen ist, findest Du in meinem Link.

Dann solltest Du hier stehen (also nach der PBZ):

$$\int \frac{t+1}{2(t^2+1)}-\frac{1}{2(t+1)} dt$$

$$=\frac12\int\frac{t}{t^2+1}dt+\frac12\int\frac{1}{t^2+1}dt-\frac12\int\frac{1}{t+1}dt$$

Das ist nun relativ einfach zu integrieren.

Beim zweiten Summanden -> arctan.

Erster/dritter Summand -> ln (wenn Du es beim ersten Summanden nicht gleich hinbekommst...subst ;))

$$\frac14\ln(t^2+1)-\frac12\ln(t+1)+\frac12\arctan(t)+c$$

Alles klar?

Grüße
Avatar von 141 k 🚀
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Lies auch mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Aus dem Ansatz:

$$\frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } =\frac { a }{ t+1 } +\frac { bt+c }{ { t }^{ 2 }+1 }$$$$\Leftrightarrow t=a({ t }^{ 2 }+1)+(bt+c)(t+1)$$$$\Leftrightarrow t=a{ t }^{ 2 }+a+b{ t }^{ 2 }+bt+ct+c$$$$\Leftrightarrow 0{ { *t }^{ 2 } }+t+0=(a+b){ t }^{ 2 }+(b+c)t+(a+c)$$

erhält man durch Koeffizientenvergleich das Gleichungssystem:

$$a+b=0$$$$b+c=1$$$$a+c=0$$

mit der Lösung

$$a=-\frac { 1 }{ 2 }$$$$b=c=\frac { 1 }{ 2 }$$

Also ist:

$$\frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 }  }{ t+1 } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } t+\frac { 1 }{ 2 }  }{ { t }^{ 2 }+1 }$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 }  \right)$$

und damit:

$$\int { \frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } dt }$$$$=\int { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 }  \right)  } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 }  } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { t }{ { t }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 }  } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } ln({ t }^{ 2 }+1)+arctan(t)-ln(t+1) \right)$$$$=\frac { 1 }{ 4 } ln({ t }^{ 2 }+1)-\frac { 1 }{ 2 } ln(t+1)+\frac { 1 }{ 2 } arctan(t)+C$$

Avatar von 32 k

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