Optimierungsproblem: Verkauf von Reifen + Bau eines Supermarktes

Question

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein Problem (na wohl eher zwei):

Also ich verstehe ja so allgemein was die wollen nur ich weiß nie, welche Formel ich dahin schreiben soll. Bei beiden Formeln habe ich ein Problem .

Die Firma XYZ denkt, dass sie 600000 Reifen von einer bestimmten Größe und Form während des nächsten Jahres verkaufen wird. Die Verkaufszahlen sind ungefähr in jedem Monat dieselben. Jede neue Produktionsrunde, die aufgestellt werden muss kostet die Firma 15000$. Frachtkosten, gemessen an der Durchschnittsanzahl der Reifen auf Lager, betragen 5$ pro Jahr für einen Reifen. Finde die Ökonomische Größe (z.B. die Größe der Produktionsrunde (Arbeitslaufs), die die Gesamtkosten von der Produktion der Reifen minimiert.)

a) Welche Größe (Anzahl) soll maximiert oder minimiert werden?
b) Ordne den Variablen Buchstaben zu.
c) Was ist die Zielfunktion?
d) Was ist die constraint function (Nebenfunktion?)
e) Gib die Zielfunktion in Bezug auf eine Variable wieder und bestimme ihren Definitionsbereich
f) Verwende den 1. bzw. 2. Ableitungstest um das Problem zu lösen.

Ein Supermarkt soll rechteckig gebaut werden mit einer Grundfläche von 12000 m^2. Die Vorderseite des Gebäudes wird zum größten Teil aus Glas bestehen und wird 70$ pro laufenden m^2 für das Material kosten. Die anderen drei Seiten werden aus Ziegeln gebaut und kosten 50$ pro m^2. Ignoriere alle anderen Kosten (Arbeitskosten, Kosten des Fundaments und des Daches, etc.) und finde die Dimensionen der Grundfläche (Base) des Gebäudes, welche die Kosten der Materialien für die vier Wände des Gebäudes minimieren.

a-f ist hier dasselbe

 

Bis jetzt habe ich:

C=600000 * 5 + 15000
600000= a * b

Bei dem 2. hatte ich 12000=a x b und x= ac + 2 x bc + ac
x= 70ac + 2 x 50bc + 50ac
x= 120 ac + 100 bc

Ist das soweit richtig, oder eher Murks?

Comments

Achtung: bei meiner Zielfunktion kommen nur die Kosten für ein 1m hohes Gebäude raus! Will man die Kosten der gesamten Wand, muss man noch mit der Gebäudehöhe multiplizieren.

'Laufender m^2' und 'm^2' ist hoffentlich dasselbe. Ich las da leider 'Laufmeter'.

Answer 1

Arbeite bitte die Punkte der vorgegebenen Reihenfolge nach ab. 

Das ist offenbar ein Schema, nach dem ihr die Begriffe und das Vorgehen gelernt habt.

So hast du die Möglichkeit Teilpunkte zu bekommen.

Ich löse mal die 2. Aufgabe mit dem, was ich als deinen Anfang hier sehe und meinem Kommentar.

 

Du schreibst:

Bei dem 2. hatte ich 12000=a x b und x= ac + 2 x bc + ac
x= 70ac + 2 x 50bc + 50ac
x= 120 ac + 100 bc

Schreib jeweils hin, wofür du die einzelnen Buchstaben einsetzt und vermeide zu Beginn 'x', wenn es sich dabei nicht um die gesuchte Grösse handelt.

 

 

Bei deinem Ansatz  gehe ich mal von Folgendem aus

Gesucht: a und b, Seitenlängen des Baus

c1, c2 Laufmeterpreis (sind ja 2, die du dann einsetzt)

 

Bei dem 2. hatte ich

Nebenbedingung Fläche:

12000=ab , a, b >0

Also b = 12000 /a sobald man a hat, kann man b berechnen; deshalb unten a = x

Zielfunktion (Kosten) - Soll minimiert werden - 

Kosten f(a,b) = ac1 + 2 * bc2 + ac2  | Laufmeterkosten c1 und c1 einsetzen und deshalb nicht mehr schreiben!
f(a,b) = 70a + 2 * 50b + 50a
f(a,b) = 120 a + 100 b                  |Nebenbedingung einsetzen

f(a,b) = 120 a + 100*12000/a

HIer steht nur noch eine der gesuchten Grössen und die kann man jetzt x nennen.

f(x) = 120 x + 1'200'000 x^-1 

Extremalstelle von f(x) finden: (erste Ableitung 0 setzen)

f'(x) = 120 +  (-1) * 1'200'000 x^-2      |0 setzen

120 +  (-1) * 1'200'000 x^-2 = 0

120 = 1'200'000 * x^-2         | *x^-2 und  / 120

x² = 10000                         | Wurzel

x_1,2 = ± √10000               | da eine Länge a gesucht ist: nur das + relevant

a = 100 m

Aus der Nebenbedingung:

b = 12'000 / 100     = 120 m

 

Ist damit nun ein Maximum oder ein Minimum der Kosten entstanden?

Vorzeichen der 2. Ableitung bestimmen

f'(x) = 120 +  (-1) * 1'200'000 x^-2 

f'(x) = 120 - 1'200'000 x^-2

f''(x) = -(-2) 1'200'000 x^-3

f''(x) = 2* 1'200'000 x^-3    , da x = 100 > 0 muss man nichts mehr einsetzen, um zu wissen,

f''(100) > 0.

Somit ist eine Minimalstelle berechnet worden! und a = 100 m und b = 120 m sind die gesuchten Masse.

 

Für mich ist das hier fertig. Du solltest noch die Aufteilung auf die Teilaufgaben vornehmen, eure vorgegebenen Begriffe einfügen und dann die erste Aufgabe nach a, b, c,… lösen.

 

 

 

 

 

Answer 2

Ich habe keine Ahnung von Betriebswirtschaft, deswegen kann es sein, dass ich manche Namen nicht kenne und irgendetwas falsch bezeichne, aber ich löse die Aufgaben mal so, wie ich das gelernt habe.

 

Aufgabe 1:
a) Zu minimieren sind die Kosten für die Reifen.

b) p := Anzahl der Produktionsrunden

r := Reifen pro Produktionsrunde

c) Deine Gleichung ist bis auf einen vergessenen Buchstaben fast richtig. Du hast allerdings die Nebenbedingung der Stückzahl bereits in die Zielfunktion einfließen lassen, was eigentlich ein Schritt zu früh ist. Die Zielfunktion, also die Kostenfunktion der Reifen abhängig von p und r lautet:
C(p,r) = p*r*5€ + p*15000€

d) Die Nebenbedingung ist die Stückzahl. Ingesamt sollten 60000 Reifen produziert werden, das bedeutet:
p*r = 60000

e) Stellt man die Nebenbedingung nach p um, so erhält man die Zielfunktion abhängig von r:

C(r) = 300000€ + 750000000€/r

Der mathematische Definitionsbereich ist ℝ\{0}, sinnvoller erscheint es mir hier aber, als sozusagen "wirtschaftlichen" Definitionsbereich ℕ also die natürlichen Zahlen ohne 0 zu nehmen: es ist nicht sinnvoll, als Anzahl der Reifen pro Produktionsrunde eine negative Zahl zu wählen. Für r->0 steigen die Kosten außerdem ins Unendliche, da entsprechend mehr Produktionsrunden gestartet werden müssen, um die gewünschte Anzahl der Reifen zu erhalten.

f) Tja, das ist ein bisschen problematisch. Entweder, ich habe die Aufgabe irgendwie falsch verstanden oder irgendein Detail übersehen (ich befürchte fast, dass die Lagerungskosten nur dann gezahlt werden müssen, wenn der Reifen auch wirklich lagert, sodass man einbeziehen muss, wieviele Reifen zu einem bestimmten Zeitpunkt im Lager sind, um die Kosten ausrechnen zu können.)

So kann man die Aufgabe aber nicht mit dem Ableitungstest lösen, denn der ergibt, dass die Kostenfunktion keine lokalen Extrema besitzt.

Leitet man C(r) nach r ab, so erhält man nämlich

C'(r) = -750000000/r²

eine hyperbolische Funktion ohne Nullstellen. Betrachtet man jedoch den Grenzwert r->∞, so geht C'(r) gegen 0, da C'(r) außerdem für alle erlaubten r kleiner als 0 ist, ist C(r) monoton fallend. Im Grenzwert r->∞ nimmt C(r) also ein uneigentliches Minimum an.

Betrachtet man aber außerdem, dass für p ebenfalls nur positive, ganzzahlige Werte erlaubt sind, so ist der gesuchte Wert von r also der größtmögliche Wert, für den p*r = 60000 durch eine positive ganze Zahl p gelöst wird. Dieser Wert ist offensichtlich r=60000 und p=1, was irgendwie auch Sinn macht. In dieser Interpretation der Aufgabe gibt es keinen Nachteil, wenn man einfach sofort alle Reifen produziert, also ist das die günstigste Lösung.

Wie gesagt nehme ich aber an, dass die Aufgabe eigentlich so gemeint ist, dass die Reifen pro Monat Lagerkosten haben, sodass sich aus der hier gefundenen Lösung doch ein Nachteil ergibt. Ich bin momentan aber irgendwie ein bisschen zu doof, um diese andere Interpretation in Formeln zu übersetzen.

Also erstmal die 2. Aufgabe:

a) Zu minimieren sind die Kosten der Bauteile.

b) Die Grundfläche ist rechteckig, mit Länge a und Breite b. Die Höhe steht hier nicht zur Debatte, ist aber entscheidend: nennen wir sie h, sie ist eine Konstante.

c) Deine Kostenfunktion ist an sich richtig, ich nenne die Höhe nur h, um sie deutlicher von den Variablen zu unterscheiden.

C(a,b) = 70€/m²*ah + 50€/m²*(2*bh+ah) = h* (a*70€/m² + (2b+a)*50€/m²)

Da die Kosten sich komplett von der Höhe isolieren lassen, kann man eine alternative Zielfunktion

G(a,b) = C(a,b)/h = a*70€/m² + (2b+a)*50€/m²

formulieren: sie hat ihre Extrema an denselben Stellen wie C, aber h kommt nicht mehr darin vor.

d) Die Nebenbedingung ergibt sich aus der gegebenen Grundfläche und lautet

a*b = 12000 m²

e) Stellt man die Nebenbedingung z.B. nach a um, so ergibt sich:

a= 12000m²/b

Eingesetzt in G:

G(b) = 840000€/b + (2b+12000m²/b)*50€/m²

G(b) = 100b €/m² + 1440000€ /b

f) Abgeleitet nach b:

G'(b) = 100€/m² - 1440000€/b²

Setze G'(b) = 0!
=> 1440000€/b² = 100€/m²

14400 m² = b²

b = 120 m

Aus der Nebenbedingung erhält man damit:

a = 12000m²/b = 100m

Comments

Huch, ich hatte nicht gesehen, dass Lu schon eine Lösung geschrieben hat - über die erste mache ich mir nochmal Gedanken, wenn ich mehr Zeit hab.

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Gute Antworten. Der Realitätsbezug der ersten Aufgabe ist mit auch schleierhaft. Nur das Einstellen der Produktion führt zu höheren Kosten.

Man müsste ja einfach alles auf einmal herstellen. Aber in einem Tag alles produzieren und auf die Wiese legen? Wieviele Tage dauert die Einrichtung?

Ich hoffe der Fragende präzisiert die Ökonomie in der Aufgabe noch.