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Untersuchen sie die Funktion f: R--> R mit f(x)= 1/3x3 ( x-2)2 auf Monotonie und bestimmen sie alle lokalen Extrema.

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Ich würde zunächst ausmultiplizieren, dann ableiten und Ableitung Null setzen.

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f ( x ) = 1/3 * x^3 * ( x^2 - 4 * x + 4 )
f ( x ) = 1/3 * ( x^5  - 4 * x^4  +  4 * x^3  )
f ´( x ) = 1 / 3 * ( 5 * x^4 - 16 * x^3 + 12 * x^2 )
Ableitung = 0
1 / 3 * ( 5 * x^4 - 16 * x^3 + 12 * x^2 ) = 0
5 * x^4 - 16 * x^3 + 12 * x^2 = 0
x^2 * ( 5 * x^2 - 16 * x + 12  ) = 0
x = 0
5 * x^2 - 16 * x + 12 = 0
x^2 - 3.2 * x + 2.4 = 0
x^2 - 3.2 * x + 1.6^2 = -2.4 + 2.56
( x - 1.6 ) = 0.16
x - 1.6 = ± 0.4
x = ± 0.4 + 1.6
x = 2
x = 1.2
E1 ( 0 | 0 )
E2 ( 1.2 |  0.36864 )
E3 ( 2 | 0 )
Monotonie > 0
f ´( x ) > 0
1 / 3 * ( 5 * x^4 - 16 * x^3 + 12 * x^2 ) > 0
5 * x^4 - 16 * x^3 + 12 * x^2  > 0
x^2 * ( 5 * x^2 - 16 * x + 12  ) > 0
x^2 stets > 0 ( außer x = 0 )
5 * x^2 - 16 * x + 12   > 0
( x - 1.6 ) > 0.16
x - 1.6 > 0.4
x > 2
x - 1.6 < -0.4
x < 1.2
Monotonie > 0
-∞ .. 1.2 : monoton ( bei x = 0 ist die Steigung 0, daher nur monoton steigend )
1.2 . .2 : streng monoton fallend
2 ..  ∞ : streng monoton steigend
E1 ist ein Sattelpunkt

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mfg Georg
Avatar von 122 k 🚀

Ist DAS dein Ernst?? Das alte unausrottbare Laster; könnt ihr alle wirklich nix wie Klammern auflösen? Ich verlange noch net mal logaritmisches Differenzieren, obwohl gerade diese Methode Sinn für Stil erkennen lässt. Produktregel ist auch okay; aber das ...

Wenn du alle Klammern stehen lässt;  selbst wenn du über die Produktregel gehst, merkst du, dass du auf eine LINEARE , nicht quadratische Bedingung in x ( max ) geführt wirst. Ansonsten verweise ich auf meine Antwort; ich weiß. Genau das Entscheidende an dem ganzen Geschäft sagen sie euch nämlich nicht:


1)  Eine Nullstelle von gerader Ordnung ist VON VORN HEREIN ein lokales Extremum.

2)  Eine ( mehrfache ) Nullstelle von ungerader Ordnung ist VON VORN HEREIN ein Terrassenpunkt.

( Ach übrigens; " Sattelpunkte " gibt es bei Kurven überhaupt nicht; ein " Sattel " hat mindestens zwei Dimensionen.  Was du meinst, ist ein ===> Terrassenpunkt . Bei Flächen von 2 und mehr Dimensionen gibt es durchaus auch Terrassenpunkte; das ist dann wie gesagt etwas völlig andreas als Sattelpunkt. )

Ich weiß nicht, ob du schon Logaritmus hattest. Im Telekolleg war es dran; rate mal, wie Logaritmus definiert ist.

Als aufleitung der Normalhyperbel 1/x . Da man eine Definition nicht " hinterfragen " kann, kannst du folglich nicht behaupten,  es " war noch nicht dran " , wie man Logaritmus ableitet.

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Kurvendiskussion  ( KD ) ist mein Hobby . Ein Polynom 5 . Grades; beginnen wir wie üblich mit den Nullstellen.

Gleich im Ursprung ein Knoten 3. Ordnung  x1;2;3 = 0 . Dabei sind ( mehrfache ) Nullstellen ungerader Ordnung immer ===> Terrassenpunkte ( TP )  Und Nullstellen gerader Ordnung sind grundsätzlich ( lokale ) Extrema; hier:  x4;5  =  2  Es wird  noch zu klären sein, ob Minimum oder Maximum.

Doch vorerst ein ganz wesentlicher Knackpunkt; Kurven sollt ihr doch immer auf Symmetrien hin untersuchen. Ein ungerades Polynom kann höchstens Punkt symmetrisch sein - wenn überhaupt. Hier gilt es mit einer naiven Flause aufzuräumen, die euch eure Lehrer ( und das Internet; und die Lehrbücher ! ) in den Kopf gesetzt haben:  Diese Symmetrie lasse sich daran erkennen, dass gerade Exponenten fehlen. Hier WAS höre ich? Wer hat da gesagt, dass sich das Symmetriezentrum ausgerechnet im Ursprung befindet? Gar nix könnt ihr nämlich den Koeffizienten ansehen.

Meine Errungenschaft

" Pappii; der Godzilla ist ein Streber. Der weiß schon wieder was, was in keinem Buch steht. Wo hat der das her; das darf der doch nicht ... "


Eine hinreichende, aber leider nicht notwendige Bedingung für Symmetrie. Wenn  sämtliche  5 Wurzeln reell sind wie hier und ihr sie auch noch kennt, gibt es was. Schreibt die Folge der Nullstellen doch mal aufsteigend sortiert


x  <  n  >  =  <  3 X 0 ; 2 ; 2  >  ;  n  =  1  ,  ...  ,  5     ( 1a )


(  Vielfachheiten sind mit zu zählen; sonst stimmt es nicht. )  Jetzt bildest du die ===> Differenzenfolge


d  <  n  >  =  <  0  ;  0  ;  2  ;  0   >  ;  n  =  1  ,  ...  ,  4      ( 1b ) 


Wenn sich Folge ( 1b )  Spiegel symmetrisch verhält gegen die Mittelachse zwischen d2 und d3 , folgt Symmetrie - hinreichend, nicht notwendig.  Die Frage bleibt nach wie vor offen; genau diese Lücke werden wir aber unten schließen.

Warum ist Bedingung ( 1b ) nicht notwendig? In gewisser Weise haben eure Lehrer schon Recht; ungerade Symmetrie liegt vor, wenn es gelingt, alle geraden Entwicklungskoeffizienten aus der ===> Taylorreihe rauszuschmeißen:


(E)  x0  |   f  (  x0  +  h  )  =  h  f  '  (  x0  )  +  (  h  ³  /  3 !  )  f(³)  (  x0  )  +  a5  h  ^  5     (  2a  )

h  :=  x  -  x0   (  2b  )


Dann  fallen insbesondere die Nullstellen Spiegel symmetrisch, und x0 selbst ist ein Knoten. Es ist unschwer einzusehen, dass dann unsere Forderung an ( 1b ) erfüllt ist. Wer hindert uns aber daran, einen Verschieber, eine Integrationskonstante C einzuführen?


f  (  C ; x0  +  h  )  =   C  +  h  f  '  (  x0  )  +  (  h  ³  /  3 !  )  f(³)  (  x0  )  +  a5  h  ^  5     (  2c  )


Diese Konstante C zerstört bereits die ungerade Symmetrie; diese ist quasi verdeckt. Symmetrie herrscht immer gegenüber dem KURVENPUNKT   (  x0  |  C  )  ; NICHT gegenüber einem Abszissenpunkt.

Halt stop; Ableitung is noch lange nich. Nullstellen und Symmetrie haben wir ( zu Mindest einen ersten Versuch ) Jetzt ist Asymptotik dran und die Grobskizze; die kommt bei euch leider immer zu kurz.  Das ungerade Polynom kommt von  (  -  °°  )  In dem TP  im Ursprung wechselt es das Vorzeichen von Minus nach Plus.  Dann muss aber das Extremum x4;5 ein Minimum sein. Daraus folgt ein Maximum in ( 0 ; 2 )  ;  und zwischen TP und Maximum so wie zwischen zwei Extrema muss je ein WP eingeschoben werden:


0  <  x1  ( w )  <  x  (  max  )  <  x2  (  w  )  <  2      ( 3 )


Insbesondere die Existenz dieses TP in ( 3 ) lässt   jegliche Symmetrie mehr als fraglich erscheinen;  es  " geht einfach nicht auf "

Die Ableitung bilden wir mittels der Metode des ===> logaritmischen Differenzierens, einer Unterart des ===> impliziten Differenzierens. Dabei machen wir mit Erfolg davon Gebrauch, dass die Rechenstufe erniedrigt wird; aus einer Bedingung 4 . Grades wird eine solche ersten Grades:


y  :=  x 3  (  x - 2  )  2      (  4a  )

ln (  y  )  =  3 ln ( x ) + 2  ln (  x - 2  )    ( 4b )

y ' / y  =  0  =  3 / x + 2 /  (  x - 2  )    ( 4c )

3  (  x - 2  ) + 2 x  =  0 ===>  x  ( max  )  =  6/5     ( 4d )


Ich nehme jetzt den versprochenen zweiten Anlauf in der Symmetriefrage. Ist das Ausgangspolynom symmetrisch, so auch die erste Ableitung. Allerdings können gerade Polynome nur wieder ( gerade ) Achsensymmetrie haben. Da aber hier ein Verschieber  ( 2c ) gar nicht stört  - er ist ja selber gerade; bzw. Achsensymmetrie wird nicht durch Translation zerstört - wird die Differenzbedingung  ( 1b ) mit einem Mal nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig. Eine 3-fache Wurzel x1;2;3 der Ausgangsfunktion wird immer noch eine doppelte u1;2 der ersten Ableitung sein; entsprechend wird x4;5 = u4 = 2 .  Dann haben wir noch in ( 4d ) gefunden u3  =  x ( max )


u  <  n  >  =  <  0  ;  0  ; 6/5  ;  2  >   ;  n  =  1  ,  ...  ,  4       (  5a  )

d  <  n  >  =  <  0  ;  6/5  ;   4/5  >   ;  n  =    1  ,  2  ,  3      (  5b  )


Symmetrie liegt vor dann undnur dann, wenn  Folge ( 5b ) Spiegel symmetrisch ist gegen den mittelsten d2  - also nein.

Hier ich bin ein Unentwegter; wagen wir uns noch an die WP ran. Hinweis; selbst die 3. Ableitung könntest du aus dem Stand ohne Zwischenableitungen direkt aus  ( 4a  )  ablesen mittels einer verallgemeinerten Produktregel  ( VPR )  für höhere Ableitungen ; Courant Bd. 2 . diese VPR funktioniert ganz analog der ersten binomischen Formel:


(  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2 u ' v '  +  u  v  "      ( 6a )

f  "  ( x )  =   3 * 2  x   (  x - 2  )  ²  +  2 * 3 * 2  x ²   (  x - 2  )  +  2  x ³  =  0   (  6b  )


Die Klammern hab ich zur Sicherheit Wolfram überlassen


g  (  x  )   €  |Z  [  x  ]  =   5  x  ²   -  12  x  +  6  =  0     (  6c )


Schau mal, was Pappi alles weiß :


https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen



===>    Allerdings, sprach die Sphinx, rück das Dings mehr nach Links, und mit einem Mal da gings ...

Mir sind keine Gründe bekannt, der " Satz von der rationalen Nullstelle "  ( SRN ) könne von Gauß stammen. Ceterum censeo, da sind schwer wiegende Einwände DAGEGEN  ( " Wiki ist geduldig. " )

1) WARUM ist Wurzel 2 irrational; warum hat sich der ( angeblich ) Gaußsche Beweis bis Heute nicht durchgesetzt? ( Wir hatten doch 200 Jahre Zeit. )

2)  In Cosmiq berichtete ein Student, " höchst verwundert "  habe sich sein Assistent  gezeigt ...

3)  Warum haben eure Lehrer noch nie davon gehört?  (  Gauß ist " Kult " )   ( Ich selbst befragte auf Cosmiq mehrere Mathematiklehrer - durchaus in Unkenntnis, dass ausgerechnet Gauß als Autor gehandelt wird. Wenn überhaupt, kamen ironisch-arrogante Repliken. )

( max Zeichen )

Avatar von 1,2 k

Und jetzt meine eigentliche Trumpfkarte. Unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde, entdeckte ich zwei pq-Formeln; siehe ( 1.6c )  das wir im Folgenden als ===> primitiv voraus sezen wollen. Seien x1;2 zwei rationale Wurzeln von  ( 1.6c )


x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q   (  2.1a  )

p1  p2  =  a0  =  6   (  2.1b  )

q1  q2  =  a2  =  5    (  2.1c  )


Gut; man muss vielleicht noch ergänzen, dass die cartesische Vorzeichenregel nur positive Lösungen zulässt - weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt. Dann verbleiben folgende Alternativen



x1  ( w )  =  1/5  ;  x2  ( w )  =  6    (  2.2a )      (  nicht plausibel, da x ( min )  =  2  <  x2 ( w )  )

x1  ( w )  =  2/5  ;  x2  ( w )  =  3    (  2.2b )      (  nicht plausibel ; s.o. )

x1  ( w )  =  3/5  ;  x2  ( w )  =  x ( min )  =  2     (  2.2c )      (  nicht plausibel )

x1 ( w )  =  1  ;  x2  ( w )  =  x ( max )  =  6/5       (  2.2d )      (  nicht plausibel )


Wenn man sich einmal daran gewöhnt hat, diese Lösungen zu raten ( wäre es bekannt, so würde jeder Einführungskurs in quadratische Gleichungen darauf aufbauen. )  Dann auf einmal bekommt der  ===> Eisensteintest  eine zentrale Rolle im Elementarunterricht zugewiesen; das ganze Unternehmen hätten wir uns schlicht sparen können.  Polynom  ( 1.6c ) ist gleich  " doppelt erblich vorbelastet "  mit zwei Eisensteinzahlen


E  (  g  )  =   {  2  ;  3  }      ( 2.3 )


Normalform


x  ²   -  12/5  x  +  6/5  =  0  |  MF    (  2.4a  )

x1;2  (  w  )  =  x  (  max  )  -/+  1/5  sqr  (  6  )   (  2.4b  )


Hier ich find das immer wieder witzig;  häufig fallen bei diesen Aufgaben  die beiden WP symmetrisch zu dem Maximum.

Ja noch zu den Godzilla pq-Formeln - d.h. genau genommen handelt es sich ja um eine p-und eine q-Formel. Gauß, das Genie, der Entdecker des SRN , sollte ihre Bedeutung verpennt haben? Voll abwegig. Und die letzten 200 Jahre haben alle Algebraiker im Kyffhäuser verbracht? Weißt du;   die Wikidiktion ist so verdächtig einsilbig. Irgendwie erinnert  mich das an die klassischen Fälschungen; so verkaufte ein gewiefter Dandy einer Hofdame von Louis XIV für viele Millionen Dublonen Bände mit Erlassen und Verfügungen von Kleopatra - in gehobenem Französisch, versteht sich ...

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