Herausfinden, ob an der Polstelle x=1 ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Question

Gegeben ist die Gleichung

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} \)

Polstelle ist x₀=1

Ich möchte nun berechnen bzw. herausfinden, ob an der Polstelle x=1 ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Die dargestellte Funktion oben nährt sich nun x-->-1 und x--->+1....

Setze ich jetzt einfach plus und minus 1 ein oder 0,99?

Answer 1

Hi Ace,

"ob" ein Vorzeichenwechsel vorliegt, kannst Du schnell herausfinden, in dem Du schaust, welche Vielfachheit der Nennernullstelle vorliegt. Diese ist 1. Damit liegt ein Vorzeichenwechsel vor ;).

 

Wenn man wissen welcher, welches Vorzeichen vorliegt, vereinfachen wir erstmal:

--> (x+2)/(x-1)

Nun schauen wir in den Zähler -> Diese ist für x = 1 positiv.

Der Nenner wird negativ, wenn x<1 und positiv wenn x>1.

 

Damit ergibt sich:

lim_x->1+ f(x) = +∞

lim_x->1- f(x) = -∞

 

Alles klar?

Grüße

Comments

Ich habe hier noch ein Beispiel.

\( \lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-x-2}{(x+3)(x-1)} \)

Die zu betrachtende Polstelle ist -3 .....(1 bekomm ich hin :) )

nun nährt sich x → -3

ich betrachte jett hauptsächlich wieder (x+3)

für x<-3 wird (x+3) positiv

für x>-3 wird (x+3) negativ

Liegt also ein Vorzeichenwechsel vor?

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Wenn Du nur daran interessiert bist, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt oder nicht, dann nur auf die Vielfachheit der Nennernullstelle schauen, an der Du interessiert bist. Der Linearfaktor (x+3) kommt nur einmal vor (also eine ungerade Vielfachheit) und damit gibt es einen Wechsel.

Wenn Du aber interessiert bist, wie es rechts und links von x = -3 aussieht, dann gehe vor wie oben. Allerdings solltest Du dafür den Zähler erstmal faktorisieren:

 

f(x) = ((x+1)(x-2))/((x+3)(x-1))

Nun schaue alle Faktoren an, bis auf (x+3). Wie ist da das Vorzeichen für x = -3

Da haben wir dann

(x+1) -> negativ bei x = -3

(x-2) -> negativ bei x = -3

(x-1) -> negativ für x = -3

 

Wir haben also insgesamt ein negatives Vorzeichen. Nun schauen wir was passiert, wenn wir tatsächlich links und rechts von x = -3 schauen. Dabei bedenke, dass für x<-3 auch (x+3) negativ ist.

Damit ergibt sich:

lim_x->-3+ f(x) = -∞

lim_x->-3- f(x) = +∞

 

Alles klar? ;)