wie werden Polstelle und die Vorzeichenwechsel rechnerisch bestimmt?

Question

Hallo

Ich verstehe leider nicht wie man rechnerisch ermitteln kann ob bei einer Polstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.

1. f(x)=2/(x²-3)

2. g(x)=1/ ((x-3)*x)

3. h(x)= -4/ 3(x-0.5)²

4. f(x)= 3x-1/((1+x²)*x)

Könntet ihr mir bitte bei diesen 4 Aufgaben zeigen wie man rechnerisch sehen kann ob die Polstellen einen Vorzeichenwechsel haben oder nicht?

Danke für alle Antworten

Answer 1

Hi,

ein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn die Vielfachheit der Nullstelle ungerade ist :).

Im dritten Beispiel hast Du eine doppelte Nennernullstelle, also die Vielfachheit 2 und damit findet kein VZW statt.

Grüße

Answer 2

y = 2/(x² - 3)

Nullstellen des Nenners bei x = ± √3

Das sind einfache Nullstellen also mit Vorzeichenwechsel

y = 1/((x - 3)·x)

Nullstellen des Nenners bei x = 0 ; x = 3

Das sind einfache Nullstellen also mit Vorzeichenwechsel

y = - 4/(3·(x - 0.5)²)

Nullstellen des Nenners bei x = 0.5

Dies ist eine doppelte Nullstelle also ohne Vorzeichenwechsel

(3·x - 1)/((1 + x²)·x)

Nullstelle des Nenners bei x = 0

Das ist eine einfache Nullstellen also mit Vorzeichenwechsel

Comments

Und wie genau weiß man was eine einfache Nullstelle und was eine doppelte Nullstelle ist?

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Lineare Terme (x - n) haben einfache Nullstellen

Quadratische Terme (x - n)² haben doppelte Nullstellen

Kubische Terme (x - n)³ haben dreifache Nullstellen

Bei Termen wie (x² - n) hat zwei Lösungen x = ±√n und damit sind beides für n ungleich null einfache Nullstellen.