Anfangswertproblem, Differentialgleichung: dy/dx = y/[x*(x+1)*(x+2)] mit y(1) = 2

Question

Ich sitze hier vor dieser Aufgabe:

dy/dx = y/[x*(x+1)*(x+2)] mit y(1) = 2


y(x) = c*e^∫1/[x*(x+1)*(x+2)]dx soweit sollte es meiner Meinung nach noch stimmen.


Leider kann ich das Integral ∫1/[x*(x+1)*(x+2)]dx nicht lösen.

Der Rechner spuckt eine ziemlich kompakte Lösung aus. Die kann ich aber leider nicht herleiten.





PS: Die Lösung wäre (4/3^0.5)*((2*x+x^2)^0.5/(1+x)

Comments

Ja, das ist richtig. Dass man das zu integrieren hat.

Da am besten wohl mit Partialbruchzerlegung arbeiten.

Mit der Zuhaltemethode/Grenzwertmethode komme ich da schnell auf

\(-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{2x}\)


Das lässt sich ja nun gut integrieren und das Anfangswertproblem dann noch lösen ;).

Answer 1

Hi,

geht ja ganz schnell ;).


$$-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}+\frac{1}{2x}$$


Das setze ich mal voraus. Siehe oben Partialbruchzerlegung.

Das integriert und man erhält:

$$-\ln(x+1) + \frac12\ln(x+2) + \frac12\ln(x) + c = \ln(\frac{x^{\frac12}\cdot(x+2)^{\frac12}}{x+1}) + c$$

Dabei habe ich hinten die Logarithmengesetze verwendet um das in einen Logarithmus zu ziehen.

Nun noch die e-Funktion anwenden, wie Du es schon aufgeschrieben hast. Dann steht da:

$$y = c\frac{\sqrt x\cdot\sqrt{x+2}}{x+1}$$


Anfangswert einsetzen:

$$y(1) = 2 = c\frac{\sqrt3}{2}$$

$$c = \frac{4}{\sqrt 3}$$


Also die von Dir bereits genannte Lösung.


Alles klar?


Grüße