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Wie beweise ich sauber, ob die gegebene Folge konvergiert? tu mir schwer mit dem verhältnis Wurzel zu log

(an) = 1/√(1+logn)


$$a_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1+\log _{  }{ n }  }  }$$

a_{ n }=\frac { 1 }{ \sqrt { 1+\log _{ \quad  }{ n }  }  }

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Annahme: log wird für den natürlichen Logarithmus verwendet.

Sollte der 10-er Logarithmus gemeint sein,  unten statt N = 1+ e^{-1 + 1/E^2}         (gerundet) 
N = 1+ 10^{-1 + 1/E^2}         (gerundet) verwenden.

(an) = 1/√(1+logn)

Geht für n gegen unendlich gegen 0

Denn für n gegen unendlich geht logn gegen unendlich, ebenso 1 + logn und deshalb auch √(1+log n).

Nun ist (an) = 1 /√(1+logn)   im Grenzwert sozusagen 1/unendlich also 0.

Formaler Beweis.

Sei E>0 gegeben. Zu zeigen es gibt ein N in IN, so dass 1/√(1 + logn) < E für alle n> N

Beweis:

1/√(1 + logn) < E       |Kehrwert nehmen

√(1 + logn) > 1/ E           |quadrieren

1 + log n > 1/E^2               |-1

log n > 1/E^2 - 1             | e^links und rechts

n > e^{-1 + 1/E^2}

Wähle N = 1+ e^{-1 + 1/E^2}         (gerundet)

So ist 1/√(1 + logn) < E für alle n> N

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