Funktion nach x auflösen mit Binom. Bsp. (x-2)2 +y2 =1

Question

wie löse ich

(x-2)^2 +y^2 =1

nach "x" auf?

Muss ich (x-2)^2 erst auflösen, das ist doch ein Binom! Aber dann habe ich zwei x   !!!???

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Eigentlich kann man keine Funktion nach x auflösen. Eine Gleichung kann man nach x auflösen. Was genau brauchst du?

Answer 1

(x - 2)² + y² = 1

(x - 2)² = 1 - y²

x - 2 = ±√(1 - y²)

x = 2 ± √(1 - y²)

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Ja natürlich, so geht es auch :D Habe ich bei meiner Antwort wieder mal viel zu kompliziert gedacht ^^

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Wie errechne ich denn daraus jetzt die Nullstellen?

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Kleiner Merkspruch von mir:

Sehe ich in einer Gleichung eine Unbekannte nur genau einmal, kann ich direkt zu dieser Unbekannten auflösen.

 

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Nullstellen:

Weil wir wissen das die Nullstellen die y-Koordinate 0 haben können wir für y hier Null einsetzen

x = 2 ± √(1 - y²)
x = 2 ± 1

x₁ = 1
x₂ = 3

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Woher weiss man das die y-Koordinate die Nullstellen 0 hat?

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Die Nullstellen befinden sich doch auf der x-Achse. Und alle Punkte der x-Achse haben die y-Koordinate 0.

 

Zeichne mal folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:

(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), ....

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Okay, das die Nullstellen sich auf der x-Achse befinden leuchtet mir ein, aber nicht woran ich sehe das alle Punkte der x-Achse die y-Koordinate 0 haben.

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Zeichne ein paar Punkte im Koordinatensystem ein. P(2,3), Q(-7,1), R(0,2), S(3 ,0). Du siehst, dass R auf der y-Achse liegt und S auf der x-Achse. Liegt daran, dass R die x-Koordinate 0 und S die y-Koordinate 0 hat.

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Also hätte ich auch die Funktion vorher nach y umstellen können und dann mit der pq-Formel die Nullstellen berechnen können, weil dann kommt da ja auch 1 und 3 raus.

Weil ich verstehe nicht woran man das sieht, dass die Nullstellen der y-Koordinate 0 sind.

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Kannst du schon, wenn du nur die Nullstellen brauchst. Aber du wolltest ja gemäss deiner Überschrift die Funktion nach x auflösen.

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Passt dann so schon. Dann habe ich es verstanden! DANKE

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Wenn du die Funktion hast

y = x^2 + px + q

und setzt diese Funktion gleich Null, dann setzt du im Grunde auch für das y Null ein.

0 = x^2 + px + q

Und zu welchem Zeitpunkt wir für das y Null einsetzten spielt keine Rolle. Das kann in jedem Schritt der Umformung passieren.

Answer 2

Wenn du zwei x hast, kannst du die zusammenrechnen.

 

(x-2)^2 + y^2 = 1

x^2 - 4x + 4 + y^2 = 1  | -1

x^2 - 4x + 3 + y^2 = 0

natürlich kannst du x und x^2 nicht einfach addieren. Du müsstest jetzt die pq-Formel verwenden, um die quadratische Gleichung zu lösen.

x1,2 = - (-4/2) +- sqrt( (-4/2)^2 - (3 + y^2) )

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Wie bekomme ich die Nullstellen wenn ich nach x aufgelöst habe?

Answer 3

Wenn in einer Gleichung die Unbekannte x nur einmal vorkommt, versucht man zuerst alles rund herum wegzubringen, bevor man weitere x einführt.

Also: x isolieren:

(x-2)² +y² =1      |-y²

(x-2)² = 1 - y²         |Wurzel

x-2 = ±√(1-y²)             |+2

x_1,2 = 2 ±√(1-y²)