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Hey kann mir hier jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Im ℝ4 sind folgende Unterräume Ui erklärt:

U1:=Lin({(0,1,0,1)}),  U2:=Lin({(0,1,0,0),(1,0,1,0)}),   U3:=Lin({(1,0,1,0),(0,1,0,1)}).

a) Bestimmen Sie alle Komplemente von U1+U2, U2+U3, U1+U2+U3, die durch Vektoren der kanonischen Basis von ℝ4 aufgespannt werden. (Welche dieser Summen sind direkt?)

b) Bestimmen Sie die Basen der Unterräume U1 ∩ U2, U2 ∩ U3, U1+(U2 ∩ U3)

 

Danke!

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a.i) U1+U2 = Lin ({(0,1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}
Da die drei Vektoren linear unabhängig sind, ist der aufgespannte Raum dreidimensional, das Komplement also eindimensional.
Gesucht sind also alle Unterräume, die von einem einzigen kanonischen Basisvektor aufgespannt werden und nicht in U1+U2 liegen. Das sind:
W1 = Lin ({(1, 0, 0, 0)})
W2 = Lin ({(0, 0, 1, 0)})
Diese Summe ist direkt.

ii) U2+U3 = Lin ({(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)})
⇒ W1 = Lin ({(1, 0, 0, 0)})
W2 = Lin ({(0, 0, 1, 0)})
Die Summe ist nicht direkt.

iii) U1+U2 +U3 = Lin ({0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}) = U1+U2 = U2+U3

Die Basen der Komplemente sind also wieder dieselben. Auch diese Summe ist nicht direkt.

b.i) U1∩U2 = {0}
Basis besteht nur aus dem Nullvektor.

ii) U2∩U3 = Lin ({(1, 0, 1, 0)})
B = {(1, 0, 1, 0)}

iii) U1+(U2 ∩ U3) = Lin ({(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)})

B = {(0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0)}

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