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Die Geburtenrate einer Tierpopulation sei g, ihre Sterberate s. Zur Zeit t=0  sei eine Anzahl von N0 > 0 Tieren vorhanden. Die Zahl N(t) der Tiere zur Zeit t (größergleich) 0 errechnet sich nach

gggggggg

 

1. Unter welchen Bedingungen für g und s ist N(t) streng monoton wachsend bzw. fallend?

2. Für welche Zeitpunkte t gilt N(t)=N0 bzw N(t)= (1/2)No ?

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1. Unter welchen Bedingungen für g und s ist N(t) streng monoton wachsend bzw. fallend?

streng monoton wachsend für g - s > 0
streng monoton fallend für g - s < 0

2. Für welche Zeitpunkte t gilt N(t)=N0 bzw N(t)= (1/2)No ?

N(t) = N0 * e(g - s) * t = N0
e(g - s) * t = 1
(g - s) * t = ln(1) = 0
t = 0

N(t) = N0 * e(g - s) * t = 1/2 N0
e(g - s) * t = 1/2
(g - s) * t = ln(1/2)
t = ln(1/2) / (g - s)

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Da nichts Genaues angegeben ist: Annahme s und g sind konstant und nicht von t abhängig.

1. N(t) = No*e(g-s)t                 wobei  No und t > 0

N'(t) = (g-s) No*e(g-s)t

N(t) ist streng monoton wachsend, falls  g - s > 0 , d.h. falls g > s.

2.  No*e(g-s)t = 1/2 No     |:No

e(g-s)t = 0.5               |ln

(g-s) t = ln(0.5)           |:(g-s)

t = ln(0.5) / (g-s)

Resultat t ist > 0, wenn g < s. Sonst t < 0.

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