Die unendliche Reihe
∑k=0∞cos(kπ)(2k+1)2=∑k=0∞(−1)k(2k+1)2\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(k{π})}{(2k+1)^{2}} = \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}k=0∑∞(2k+1)2cos(kπ)=k=0∑∞(2k+1)2(−1)k
Ist absolut konvergent, da
∣∑k=0∞(−1)k(2k+1)2∣≤1+∑k=1∞1k2|\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}| \leq 1 + \sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}∣k=0∑∞(2k+1)2(−1)k∣≤1+k=1∑∞k21
und die Majorante rechts bekanntlich absolut konvergiert. Aus der absoluten Konvergenz folgt die (gewöhnliche) Konvergenz.
Da steht aber 2k+1 im Nenner. Hinweis: cos usw. in LaTeX sind \cos usw.
Danke, korrigiert.
Die letzte Summe ist nicht definiert.
Auch wieder wahr :-)
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