Da \(\sum \limits_{n}|a_n|<\infty\), muss \(|a_n|\to 0\), d.h. es gibt ein \(N\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n>N\) gilt, dass \(|a_n|<1\). Multipliziere diese Ungleichung mit \(|a_n|>0\), dann hast du \(|a_n|^2=a_n^2<|a_n|\):$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n^2=\sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{a_n^2}\leq \sum_{n=1}^{N-1}{a_n^2}+\sum_{n=N}^{\infty}{|a_n|}<\infty$$
