Stationäre Punkte (Nullstellen) einer Funktion f(x,y) bestimmen

Question

Hi, die Aufgabe lautet:

Die Funktion
$$f(x, y)=x^{3}-3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}-3 x-21 y$$
hat vier stationäre Punkte.
Bestimmen Sie diese.

$\left(x_{1}^{*}, y_{1}^{*}\right)=\boxed{(3,2)}$

$\left(x_{2}^{*}, y_{2}^{*}\right)=\boxed{(1,2)}$

$\left(x_{3}^{*}, y_{3}^{*}\right)\boxed{(-1,-2)}$

$\left(x_{4}^{*}, y_{4}^{*}\right)=\boxed{(-3,-2)}$

Die Ergebnisse sind nun schon in den Kästchen eingetragen, ich weiß aber nicht genau wie ich darauf komme.

Ich muss ja die Funktion einmal nach x und einmal nach y ableiten und diese beiden Ableitungen dann 0 setzen, bzw. die Nullstellen dieser Ableitung finden.

Das sieht dann so aus:

f_x′(x,y)= 3x² −6xy+3y² − 3= 0
f_y′(x,y)=−3x² +6xy+3y² −21= 0

Nur wie bekomme ich jetzt die Nullstellen heraus? Ich habe versucht die erste Gleichung nach y umzustellen und das Ergebnis dann in die zweite einzusetzen. Dann ist mir aufgefallen, dass das ja nur bei linearen Gleichungen funktioniert. Wie erhalte ich nun meine Nullstellen?

Answer 1

f(x, y) = x^3 - 3·x^2·y + 3·x·y^2 + y^3 - 3·x - 21·y

fx'(x, y) = 3·x^2 - 6·x·y + 3·y^2 - 3 = 0

fy'(x, y) = - 3·x^2 + 6·x·y + 3·y^2 - 21 = 0

Könnte man nicht mal beide Gleichungen addieren

6·y^2 - 24 = 0
y = -2 ∨ y = 2

Das könnte man jetzt in eine Gleichung einsetzen um so auch x auszurechnen.

Comments

Hi, Danke für deine Antwort :)

Ist dieses Lösungsschema auf alle Gleichungssysteme anwendbar? Also egal ob es quadratische, lineare oder sonst eine Art von Gleichung ist? Das ist doch das Gauß Verfahren oder täusche ich mich da? Ich habe lineare Gleichungssysteme immer nach dem Einsetzungsverfahren gelöst.

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Dieses ist ja kein lineares Gleichungssystem, weil x und y auch als Quadrate vorhanden sind. Aber vielleicht hast du mal die Schnittebene zweier Kreise bestimmt. Dort addiert man auch geschickt zwei Gleichungen sodass damit möglichst die Quadrate wegfallen.
Man kann eigentlich immer Gleichungen addieren, wenn einen das dem Ziel näherbringt. Und hier sah man ja förmlich das es sich anbot diese Gleichungen zu addieren.

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Okay, dann kann ich also bei linearen Gleichungssystemen nach dem Einsetzungsverfahren vorgehen (oder das Gleichungssystem in den Taschenrechner eingeben) und bei Systemen höherer Ordnung die Gleichungen addieren, wenn es mich zum Ziel bringt.

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Ja. Du könntest auch hier das Einsetzverfahren/Gleichsetzungsverfahren verwenden. Nur das du eben nicht nur eine Variable ersetzt wird

3·x² - 6·x·y + 3·y² - 3 = 0
3·x² - 6·x·y = 3 - 3·y²

Wir lösen so auch mal die zweite Gleichung geschickt auf

- 3·x² + 6·x·y + 3·y² - 21 = 0
3·y² - 21 = 3·x² - 6·x·y
3·x² - 6·x·y = 3·y² - 21

Da 3·x² - 6·x·y in beiden Gleichungen wohl gleich ist müssen auch die rechten Seiten gleich sein.

3 - 3·y² = 3·y² - 21

Das ist aber eigentlich auch genau das gleiche was man direkt über das Additionsverfahren erreicht. Nur das das Additionsverfahren meist sehr viel einfacher ist.

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Bei folgendem Gleichungssystem komme ich nicht weiter

G′_x = −2x−3y = 0

G′_y = -3x-3+3y² = 0

Hier ist ja nun eine lineare und eine quadratische Gleichung vorhanden. Nun bringt es mir ja wenig wenn ich die Gleichungen addiere, oder?

Ich habe zunächst mal die lineare Gleichung nach x umgestellt und erhalte x= -3/2 * y

Wenn ich das in die quadratische Gleichung einsetze erhalte ich 9/2 * y -3 + 3y² ,was ja eine quadratische Gleichung ist, deren Nullstellen ich mit dem TR berechnen kann. Da erhalte ich -2 und 1/2 als Nullstellen. Nun habe ich mein y und kann das in die erste Gleichung −2x−3y = 0 einsetzen und nach y auflösen. Da erhalte ich einmal x = 3 wenn ich -2 einsetze und x = -0,75 wenn ich 1/2 einsetze.

Laut Lösung ist aber nur der Punkt (3,-2) korrekt. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

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- 2·x - 3·y = 0
x = - 1.5·y

- 3·x - 3 + 3·y^2 = 0
- 3·(- 1.5·y) - 3 + 3·y^2 = 0
y = 0.5 ∨ y = -2

Und damit dann auch x ausrechnen.