Berechnen Sie die Taylor-Reihe von f(x)= ln x für xo =1

Question

Berechnen Sie die Taylor-Reihe der folgenden Funktion für die angegebenen Entwicklungspunkt x₀ :

f(x)= ln x            für x₀ =1

 

Eine Untersuchung der Konvergenz der Reihe ist nicht erforderlich

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Taylorreihe berechnen

Stichworte: taylorreihe

gesucht ist die Taylorreihe der Funktion f(x)= lnx um den Punkt x₀ = 1

Answer 1

Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe brauchst du hier alle Ableitungen an der Stelle a = 1:

f(x) = ln x          f(1) = 0

f ' (x) = 1/x = x^-1        f ' (1) = 1         = (-1)⁰*0!    (je nach Definition so möglich)

f ' ' (x) = - x^-2             f ' ' (1) = - 1      =(-1)¹*1!

f '''(x) = 2x^-3              f ' ' ' (1) = 2       =(-1)²*2!

f ''''(x) = - 6x^-4            f''''(1) = - 6      =(-1)³ * 3!

fⁿ'(x) =( -1)^n-1 * (n-1)!*x^-n                 fⁿ'(1) = ( -1)^n-1 * (n-1)!

Jetzt in Taylor-Formel einsetzen und 3! / 4! = 1/4 … kürzen

ln(x) = 0 + (x-1)¹ - 1/2 *(x-1)² + 1/3 *(x-1)³ - 1/4 *(x-1)⁴ - … +( -1)^n-1 * (n-1)!/n! *(x-1)ⁿ …

allg. kürzen

ln(x) = 0 + (x-1)¹ - 1/2 *(x-1)² + 1/3 * (x-1)³ - 1/4 *(x-1)⁴ - … +( -1)^n-1/n *(x-1)ⁿ …

Anm: Das Resultat kannst du auf der angegebenen Wikipediaseite überprüfen. Dort findest du auch noch einen Trick uur weiteren Umformung dieser Formel.