Ist die Matrix invertierbar ((1,1,0)(2,3,3)(3,1,-2)) : (Fp) für p= 2, 5

Question

Stelle fest, ob die folgende Matrix invertierbar ist und bestimme gegebenfalls ihre Inversen:

( [1] [1] [0]

 [2]  [3] [3]

  [3] [1] [-2] )  ∈ Mat_3×3  (Fp) für p= 2, 5

Answer 1

A=

( [1] [1] [0]

 [2]  [3] [3]

  [3] [1] [-2] )

Determiante 'normal' berechnen.

Det(A) = -6+9+0 - (0+3-4) = 5-(-1) = 6

6 modulo 2 ist 0. ==> Nicht invertierbar für p=2

6 modulo 5 ist 1 ==> Invertierbar für p=5

Also nun noch die Inverse für p=5 berechnen.

Zum Beispiel die folgende Matrix mit geeigneten Zeilenumformungen so umformen, dass die Einheitsmatrix links erscheint. Rechne am besten gleich modulo 5.

A=     [modulo 5  gerechnet]

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [2]  [3] [3]      0   1  0

  [3] [1] [3]      0   0 1) 

-->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [3]      -2   1  0

  [0] [-2] [3]      -3   0 1) 

--->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [3]      3   1  0

  [0] [3] [3]      2   0 1) 

-->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [3]      3   1  0

  [0] [0] [-6]      -7   -3 1) 

--->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [3]      3   1  0

  [0] [0] [-1]      3   2 1) 

-->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [3]      3   1  0

  [0] [0] [1]      -3   -2 -1) 

--->

 

( [1] [1] [0]       1 0   0 

 [0]  [1] [0]      12   7  3

  [0] [0] [1]      -3   -2 -1) 

---->

 

( [1] [0] [0]       -1 -2   0 

 [0]  [1] [0]      2   2  3

  [0] [0] [1]      2   3  4) 

-->

 

( [1] [0] [0]       4 3   -3 

 [0]  [1] [0]      2   2  3

  [0] [0] [1]      2   3  4) 

--->

 

( [1] [0] [0]       4 3   2 

 [0]  [1] [0]      2   2  3

  [0] [0] [1]      2   3  4) 

Multipliziere zur Kontrolle 

A^{-1} * A

=

(4+6+6, 4+9+2, 9+6
......
......)

= (modulo 5)

( 1, 0, 0 
........

.......)

Einheitsmatrix rausgekommen? ==> ok.

Comments

Na, hoffentlich! Das freut mich und bitte.

Answer 2

Wann ist die Matrix invertierbar?

Wenn die Determinante  ungleich 0 ist. ;) Also los rechne die Determinante aus und schau, ob es funzt.

Was die Inverse angeht, ich glaube da gabs nen Satz, dass bei einer bestimmten Voraussetzung die invertierte

gleich der transponierten, oder komplex konjugierte transponierte Matrix ist.

In jedem Fall würde funktionieren, eine Variablen Matrix aufzustellen, die mit deiner zu multiplizieren

und da soll dann die Einheitsmatrix heraus kommen. Müssten 9 Gleichungssysteme mit 9 Variablen. ;)

Viel Spaß