Aufgabe:
Die Dichtefunktion der χ2-Verteilung mit 4 Freiheitsgraden ist
f(x)={0,x<04xe−2x, sonst
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X≤4)∗.
(b) Geben Sie die Verteilungsfunktion FX(t)=P(x≤t) an.
Unten sind die Formeln, aber ich bin mir nicht sicher, ob es die richtigen Formeln sind. Was muss man bei der χ²-Verteilungsfunktion beachten?
Wenn χ1,χ2,...,χf standardnormalverteilte unabhängige Zufallsvariablen sind, dann ist die Summe ihrer Quadrate Y =χ1²+χ2²+...+χf² gerade χ²-verteilt mit Parameter f. Der Parameter f wird Anzahl der Freiheitsgrade genannt.
Für die Dichte der χ²-Verteilung gilt:
f(y)=cf∗y2f−1∗e−2y
Mit Normierungskonstante cf cf=2f∗Γ(f/2)1
wobei Γ(x)=0∫∞tx−1∗e−tdt
Gamma-Funktion ist. Γ(n)=(n−1)!n∈N
E(Y)=f
D2(Y)=2∗f