Woher erkenne ich ob eine Funktion (strikt) konkav oder konvex ist?

Question

 

nehmen wir an die Funktionsgleichung lautet: f(x)= 1/(x²) - (1/ (x-1)²).

 

Wie ermittle ich rechnerisch auf welchen Intervallen diese (strikt) konkav oder konvex ist?

Answer 1

2.Ableitung bilden und nachsehen ob und wo Wendestellen
vorhanden sind, wann die 2.Ableitung positiv = Linkskrümmung = konvex
oder negativ ist
Definitionsbereich ansehen
f(x)= 1/(x²) - (1/ (x-1)²).
D = ℝ \ { 0 , 1 }

f  ´ ( x ) =  - 2x / x⁴ - [ - 2 * ( x- 1 ) ] / ( x-1)⁴
f ´ ( x )  = - 2 / x³ + 2 / ( x-1)³
f ´´ ( x ) = 6 * x² / x⁶  +  [ - 2 * 3 * ( x - 1)² ] / ( x -1 ) ⁶
f ´´ ( x ) = 6 / x⁴ - 6 / ( x -1 )⁴
Wendestelle
6 / x⁴ - 6 / ( x -1 )⁴ = 0
6 / x⁴ = 6 / ( x -1 )⁴
( x - 1 )⁴ = x⁴
( x - 1)² = x²
x² - 2*x + 1 = x²
-2*x = -1
2 * x = 1
x = 1/2
Linkskrümmung ( konvex )
2.Ableitung positiv
6 / x⁴ - 6 / ( x -1 )⁴ > 0
6 / x⁴ > 6 / ( x -1 )⁴   | * x⁴  | * ( x - 1 )⁴
6 * ( x -1 )⁴ > 6 * x ⁴  | : 6
( x - 1 )⁴ > x⁴
( x - 1 )² > x²
x² - 2*x + 1 > x²
-2 * x > -1
2 * x < 1
x < 1/2

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So jetzt kommt noch deine Frage nach " strikter Krümmung "

Hier muß ich gerade mal im Internet nachschauen.
Nachtrag : leider habe ich die Bedeutung von " strikt " im
Zusammenhang mit Krümmung nirgendwo definiert
gefunden.

mfg Georg
 

 

Comments

Hallo Georg! Ich behauptete oben zwar "Die Funktion ist hinreichend oft differenzierbar, also ändert sich das Krümmungsverhalten genau an den Wendestellen.", dies ist jedoch nicht richtig. Das Krümmungsverhalten ändert sich zwar an den Wendestellen, kann sich aber auch an Definitionslücken ändern. Und da Du ja zwei Polstellen ausgemacht hast, muss man da wohl auch noch hinschauen.

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@hh18
Es gibt nur 1 Wendestelle x = 1/2

Für x < 1/2 ist die Krümmung positiv
An der Stelle x = 0  geht die Krümmung
gegen plus unendlich.

Für x > 1/2 ist die Krümmung negativ.
An der Stelle x = 1  geht die Krümmung
gegen minus unendlich.

Wenn ich jetzt noch wüßte was " strikt "  im Zusammenhang
mit Krümmung bedeutet wäre ich zufrieden.

mfg Georg

Answer 2

Die Funktion ist hinreichend oft differenzierbar, also ändert sich das Krümmungsverhalten genau an den Wendestellen.

Comments

Also ist das nichts weiteres als das Krümmungsverhalten. heißt f''(x) <0 ist sie konkav, da der Graph sozusagen fällt und wenn f''(x) > 0 dann ist sie konvex?