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Hallo ich komme bei diesem Beweis auf keinen grünen Zweig.

 

Zeigen sie:

Sei (G,*) eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Gruppenelement, so ist:

φg : { G → G;    h →( 'g  *  h  *  g) } 

1:ein Homomorphismus.

2: Gib weitere Beispiele von Gruppen G und Elementen g ∈ G, damit φg einmal ein Isomorphismus ist und einmal nicht.

Zum Gruppenhomomorphismus weiß ich (banal ausgedrückt):

" Man hat eine Menge M und eine Verknüpftung * sowie eine Funktionsvorschrift f:

nun prüft man ob:f(m1)*f(m2) = f(m1*m2)"

 

Danke für jegliche Form der Hilfe.

 

Gefragt von

Also ich würde das so zeigen:

Prüfe ob: 
φ(h)*φ(j) = φ(h*j)

 

Test:

φ(h)*φ(i) = 'g * h * g * 'g *j' g = g' * h *n*  j * g = g' * h * j * g (da g*'g = neutral und g * neutral = g)

φ(h*j) = 'g * h * j * g

=> φ(h)*φ(j) = φ(h*j)

Aber mir wurde dazu gesagt das sei kein Beweis.

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich gehe davon aus, dass 'g das Inverse zu g ist, ich schreibe dafür g-1.

1. Seien h1, h2 ∈ G. Dann gilt:

φg(h1)*φg(h2)=(g-1h1g)*(g-1h2g)=(gh1)(h2g-1)=g(h1h2)g-1g(h1h2)

2. Um Isomorphismus zu sein, muss φg bijektiv sein, d.h. du musst ein Beispiel finden, sodass folgendes gilt:

i) Injektiv: Seien h1, h2 ∈ G mit φg(h1)=φg(h2). Zu zeigen: h1=h2.

Es gilt gh1g-1=gh2g-1

gh1=gh2

h1=h2

ii) Surjektiv: Sei y ∈ G. Finde ein x ∈ G mit φg(x)=y. Setze x=gyg-1 ∈ G, dann folgt:

φg(x)=g-1xg=g-1(gyg-1)g=(g-1g)y(g-1g)=y

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