Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Question

Rekursive Frage:

Die Folge (an)naus N0 reeller Zahlen sei rekursiv definiert durch a0=2

 an=3/(4-an-1) für n>=1

 

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und berechnen sie den Grenzwert.

Hinweis:Beweis durch vollständige Induktion

Answer 1

a0 = 2

a_n = 3/(4 - a_n-1) für n>=1

Ich berechne mal die ersten Folgeglieder

a1 = 3/2
a2 = 6/5
a3 = 15/14
a4 = 42/41

Ich sehe das sich diese Folge vermutlich 1 nähert

Wenn es einen Grenzwert gibt vermute ich ihn bei a_n = a_n-1.

a = 3/(4 - a)
a(4 - a) = 3
4a - a^2 = 3
a^2 - 4a + 3 = 0
a = 1 oder a = 3

Wie das durch vollständige Induktion geht ist mir nicht ganz klar. Ich könnte vielleicht zeigen, dass sich an+1 näher an 1 befindet als an. Ich probiere das nachher mal.

Comments

1 - an+1 > 1 - an

1 - 3/(4 - a) > 1 - a

3/(4 - a) < a

 

3 < a(4 - a)

3 < 4a - a^2 

4a - a^2 > 3

a^2 - 4a - 3 < 0

Das würde gelten für

-0.6457513110 < a < 4.645751311

Da wir zunächst a0 = 2 haben ist das sicher erfüllt und da sich an dann immer mehr der 1 nähert ist das sicher erfüllt.