Exponentialgleichungen x^{√x} = √(x^x) und x^{logx} = 10^4

Question

Hey ich habe hier zwei Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:

x^√x = √x^x

x^log₁₀^x = 10⁴

EDIT(Lu) gemäss Kommentar: Gemeint sind:

x^√x = √(x^x)

x hoch die Wurzel von x gleich der Wurzel von x hoch x

Und die zweite ist diese:

x^logx = 10⁴

Comments

Wie sind die Gleichungen korrekt ?

x^{√x} = (√x)^x

x^{logx} = 10^4  | log = log₁₀

mfg Georg

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Die erste Gleichung ist:

x^√x = √(x^x)

x hoch die Wurzel von x gleich der Wurzel von x hoch x

Un die zweite ist diese:

x^logx = 10⁴

Answer 1

x^√x = √(x^x)

Die Wurzel kann nur aus einer positiven Zahl oder null
gezogen werden. Deshalb x ≥ 0.
Dann quadriere ich die Gleichung
x^√x * x^√x = [ √(x^x)  ]^2
x^2*√x = x^x
Da die Basis gleich ist müssen auch die Exponenten gleich sein
2*√x = x  | ( )^2
4*x = x^2
x^2 - 4*x = 0
x ( x - 4 ) = 0
x = 0
x = 4

Für die 2.Gleichung ist mir noch nichts eingefallen.

mfg Georg

Comments

Hi Georg,

so habe ich es auch versucht. Ich hingegen hatte es nicht gewagt die 0 als Ergebnis zu akzeptieren. 0^0 würde ich als Problemfall erachten.

Dass etwas unterschlagen wird, wenn man auf Deine Weise rechnet ist offensichtlich, wenn man sich x = 1 anschaut. Das ist sicher eine Lösung.

Obs da ein Problem gibt nur die Exponenten anzuschauen? Immerhin ist die  Basis Variable?! Das wüsste ich gerade spontan nicht.

Die 2. Gleichung ist da einfacher.

x^logx = 10⁴   |log

log(x)*log(x) = 4

log(x)^2 = 4

log(x) = ±2

x = 10^{±2}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^%28lg%28x%29%29+%3D+10^4

Grüße

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x^{logx} = 10^4  |  a = b =>  log(a) = log(b)
log [ x^{logx} ] = log [ 10^4 ]  | linke Seite : log ( a^b ) = b * log ( a )
logx * logx = 4
[ logx ]^2 = 4
logx = ± 2  | 10 hoch ()
x = 10^2
x = 10^{-2}

Überprüfung z.B. durch die Probe

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Ich überlege mir noch einmal alles.

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log(x)*log(x) = 4
log(x²) = 4
besser
[ log(x) ]^2  = 4
log(x) = ±2
x = 10^2
x= 10^{-2} = 1/100

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@unknown
Ich denke die Frage 2 ist geklärt.
x = 10^2 und x = 10^{-2}

Formell gibt es für Frage 1 die Lösungen :
x = 0, x= 1 und x = 4
Jetzt muß ich mir noch Gedanken machen wieso
x = 1 bei mir nicht auftaucht und ob x = 0 eine
Lösung ist.

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Yup, Frage 2 ist klar. Hatte bei mir schon verbessert. Das Quadrat versehentlich im Logarithmus gehabt ;).

Was ist bei Dir "Formell"?

Über weitere Gedanken bzgl x = 1 wäre ich dankbar und interessiert. Wegen x = 0 ist das eventuell je nach Definition von 0^0. Da gibt es ja die Definition "nicht definiert" und "1", nicht?^^

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Nachweis für x = 1

x^√x = √ ( x^x )   | quadrieren wie oben gezeigt, wird zu
x^2*√x = x^x   | ln ( )
ln ( x^2*√x ) = ln ( x^{x ₎}
2 * √ x * ln ( x ) = x * ln ( x )  |  zutreffend u.a. für
ln ( x ) = 0
x = 1

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@unknown

Fall 0^0 . Ich habe noch nicht in die Bücher geschaut.

lim x -> 0  [ x^x ]
e^{ln[x^x]}
Den Exponenten untersucht
ln ( x^x ) = x * ln(x)
oder
lim x -> 0  [ ln(x) / ( 1/x) ]
ein Fall für l´Hospital
1/x / ( -1/x^2 )
-x
lim x -> 0 [ x^x ] = null
als Exponenten eingesetzt
e^0 = 1
also
lim x-> 0 [ x^x ] = 1
Oder ?
mfg Georg

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Der Aussage zur Folge wäre aber x = 0 keine Lösung, da ln(0) eindeutig nicht definiert ist ;).

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Ausgangsgleichung

x^√x = √(x^x)
für x = 0
0^0 = √(0^0)
falls 0^0 = 1 ist dann
1 = 1

Mein Matheprogramm gibt mir für 0^0 = 1 an.

Also wären die 3 Lösungen x=0, x=1 und x= 4

mfg Georg

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Yop, das ist aber jetzt nichts Neues. Sondern wie ursprünglich: Je nach Definition. Wolfram zum Beispiel sagt 0^0 ist nicht definiert ;).

Answer 2

Man könnte auch sofort den Exponentenvergleich
ansteuern und erst ganz zum Schluss quadrieren:

x^sqrt(x) = sqrt(x^x)   für   x ≥ 0
⇔
x^sqrt(x) = x^0.5*x
⇔
x = 0   oder   x = 1   oder   sqrt(x) = 0.5*x
⇔
x = 0   oder   x = 1   oder   2 = sqrt(x)
⇔
x = 0   oder   x = 1   oder   x = 4.

Bleibt 0^0 undefiniert, ist auch die Gleichung für x=0
nicht definiert und diese Lösung würde wegfallen.
Ist 0^0 ≥ 0 festgelegt, ist auch x = 0 eine Lösung.

Traut man dem Exponentenvergleich mit variabler
Basis nicht, kann man noch umschreiben zu
x^sqrt(x) = x^0.5*x
⇔
e^{sqrt(x)*ln(x)} = e^0.5*x*ln(x)
...