Eine Ellipse mit Brennweite \( e=3\sqrt{7} \) schneidet eine Polynomfunktion. \( y=c x^2 \) im Punkt P\( (3|4)\).
Die Parabelgleichung lautet \( p(x)=\frac{4}{9}x^2 \)
a) Bestimmung der Ellipsengleichung:
\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) P\( (3|4)\) liegt auf dem Ellipsengraphen.
1.) \( \frac{9}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1 \)
Es gilt \( e^2=a^2-b^2 \) → 2.) \( 63=a^2-b^2 \)
Aufgelöst erhält man die Ellipse \( \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1 \)
b) Bestimmung der Schnittwinkel:
Tangente an Ellipse:
Allgemein: \( \frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1 \)
\( \frac{3x}{81}+\frac{4y}{18}=1 \) → \( y=\frac{9}{2}-\frac{1}{6}x \)
Steigung der Parabeltangenten in P(3|4):
\( p'(x)=\frac{8}{9}x\)
\( p'(3)=\frac{8}{3}\)
\( α=\tan^{-1)}(|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}|)\)
\( m_2=\frac{8}{3} \)
\( m_1=-\frac{1}{6} \)
Eingesetzt kommt ein Winkel von ungefähr 78,9° raus.
Rotation der Geraden um die y-Achse:
Auflösen der Tangente nach x:
\(x=\frac{3}{8} y+\frac{3}{2}\)
Volumen des des Drehkegelstumpfes:
\( \frac{V}{π}=\int\limits_{0}^{4}(\frac{3}{8}y+\frac{3}{2})^2dy \)
Auflösen der Parabel nach x:
\(y=\frac{4}{9} x^2\)
\(x^2=\frac{9}{4}y\)
\(x=±\frac{3}{2}\sqrt{y}\)
Volumen des des Paraboloids:
\( \frac{V}{π}=\int\limits_{0}^{4}\frac{3}{2}\sqrt{y} dy \)
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