Folgen auf Konvergenz prüfen und Grenzwert bestimmen. a_n = (1 - 1/n^n)^n und b_n = (-1)^n*4^n /(2^n + 1)

Question

a) \( a _ { n } = \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { n } } \right) ^ { n } \)

b) \( b _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } \frac { 4 ^ { n } } { 2 ^ { n } + 1 } \)

c) \( c _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } \left( 1 - \frac { 1 } { n } \right) ^ { n^2 } \)

Kann mir jemand sagen, ob die Folgen konvergieren und wie jeweils der Grenzwert ist?

Answer 1

a und c haben grosse Ähnlichkeit mit der ersten Definition der Eulerschen Zahl in https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

Vielleicht findest du da eine geeignete Substitution und bekommst z.B. eine 17-te Wurzel aus e^{-1}. Vgl. https://www.mathelounge.de/9342/zeigen-sie-allgemeiner-fur-alle-x-∈-r-konvergiert-n-n-gegen-e-x

Ich habe nur für b) einen Vorschlag

bn = (-1)^n*4^n /(2^n + 1)

|bn| = 4^n /(2^n + 1)

= (2^n)^2 / (2^n + 1)       |Nenner vergrössern

                      (Bruchterm wird so nach unten abgeschätzt)

> (2^n)^2 / (2*2^n)

= 2^n / 2 ---------> ∞

bn konvergiert nicht. Da bn eine alternierende Folge ist, kann man nicht mal sagen bn geht gegen plus oder minus unendlich.