Kurvenschar Kurvendiskussion: fa(x)= 0.5x^4-ax^2

Question

Ich soll eine Kurvendiskussion zur Kurvenschar \(f_a(x)=\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 4 }-a{ x }^{ 2 }\)  (a>0)  durchführen.

Wir haben Kurvendiskussionen bei Kurvenscharen aber nur flüchtig besprochen.

Hieran hab ich mich schon selbst versucht:

f_a'(x)=2x³-2ax

f_a''(x)=6x²-2a

f_a'''(x)=12x-2

Ist das erstmal so richtig?

Und wie fahre ich fort? Wie berechne ich Nullstellen, Extrema und Wendepunkte?

Comments

Steht da f_a(x)= 12x^4-ax^2 ? Wird mir leider nicht richtig dargestellt.

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Sommersonne: Nein. Da steht: f_a(x)= 0.5x⁴-ax² .

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Habe TeX-Klammern gesetzt ;).

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Nein einhalb also 0,5.

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Wurde mir einfach nicht richtig dargestellt. Aber jetzt hat sich das ja geklärt.

Answer 1

das ist soweit richtig.

Wie gehst Du weiter vor? Ganz "normal". Du hast halt ein a mit dabei ;).

Nullstellen:

f(x) = 1/2*x^4 - ax^2 = 1/2*x^2 * (x^2 - 2a)

x_1,2 = 0

x_3,4 = ±√(2a)

Extremstellen:

f'(x) = 2x^3 - 2ax = 0

2x(x^2-a) = 0

x₅ = 0

x_6,7 = ±√a

Das noch mit der zweiten Ableitung kontrollieren (überlasse ich Dir).

Wendestellen:

f''(x) = 6x^2-2a = 0

2(3x^2-a) = 0

3x^2-a = 0

x^2 = a/3

x_8,9 = ±√(a/3)

Das mit der dritten Ableitung überprüfen.

Grüße