Extrempunkt bei Funktionsscharen berechnen: fk(x) = x^4 - kx

Question

Hallo Freunde :)

Gegeben ist die Funktionsschar f_k(x) = x⁴ - kx

Es gilt die Extrempunkte zu berechnen. Ich habe schon die Stelle \( x = \sqrt [3]{ \frac { k }{ 4 }  }\) ..

Ich will jetzt lediglich den y-Wert des Tiefpunktes berechnen..

$$f_k (\sqrt[3]{ \frac{k}{4}}) = (\sqrt[3]{ \frac{k}{4}})^4 - k\cdot (\sqrt[3]{ \frac{k}{4}} ) $$

Hier komm ich mit dem Zusammenfassen nicht weiter.. Der Matheunterricht ist schon ein paar Jährchen her.. Ich hoffe Ihr könnt & wollt mir helfen!?

Ich bedanke mich schon mal.

Comments

\sqrt [ 3 ]{ \frac { k }{ 4 }  } 

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Was soll der lange Text darstellen?

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Du musst am Anfang vom TeX Code \ ( ohne Leerzeiche schreiben, am Ende \ ). 

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wenn ich das wüsste ^^ ich hab nur den Formeleditor genutzt.. :/

\sqrt [ 3 ]{ \frac { k }{ 4 }  }   bedeutet übrigens dritte wurzel aus k/4

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sqrt [ 3 ]{ \frac { k }{ 4 }  }\

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Das weiss ich ;) Du kannst deine Frage noch bearbeiten.

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sorry ^^ das ist neu für mich :D

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Alles klar ;) Ich habe das mal korregiert für dich, CoffeeDiva. Wars so gedacht?

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Ja danke Legen...Där so war's gedacht :) ich hab noch nicht rausgefunden, wie ich das bearbeite ^^

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https://www.mathelounge.de/140890/mathe-artikel-einfuhrung-latex

Das wird das erklärt :)

Answer 1

f_k ( x ) = x⁴ - kx
f_k ´ ( x ) = 4 * x³ - k
f_k ´´ ( x ) = 12 * x²

Extrempunkt
f_k ´ ( x ) = 4 * x³ - k = 0
4 * x^3 = k
x^3 = k / 4
x = ( k / 4 )^{1/3}

Funktionswert
f_k ( x ) = x⁴ - kx
f_k ( ( k / 4 )^{1/3}  ) = ( k / 4 )^{1/3}⁴ - k* (( k / 4 )^{1/3} )
f_k ( ( k / 4 )^{1/3}  ) = ( k / 4 )^{4/3} - k* (( k / 4 )^{1/3} )
f_k ( ( k / 4 )^{1/3}  ) = k / 4 * ( k / 4 )^{1/3} - k* (( k / 4 )^{1/3} )
f_k ( ( k / 4 )^{1/3}  ) = - 3 / 4 * k  * ( k / 4 )^{1/3}
E ( ³√ (k/4 )  | -3/4 * k * ³√ (k/4 ) )

Hoch- oder Tiefpunkt
f_k ´´ ( x ) = 12 * x²  ist stets positiv, durch das Quadrat
Daher ist E ein Tiefpunkt

Comments

Super Danke :) Aber ich glaube ich versteh gerade nicht ganz wie man am Ende auf f_k ( ( k / 4 )^1/3  ) = - 3 / 4 * k  * ( k / 4 )^1/3  kommt??

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Hallo CoffeeDiva
( dies ist für mich der bisher beste frei gewählte Name im Forum ),

falls du diese Umwandlung meinst :

k / 4 *  ( k /4)^{1/3}
( k /4 )^{3/3} * ( k /4)^{1/3}
( k/4 )^{3/3+1/3}
( k/4 )^{4/3}  = k / 4 *  ( k /4)^{1/3}

Im Zusammenhang

k / 4 * ( k / 4 )^1/3 - k* (( k / 4 )^1/3 )
z =  ( k / 4 )^1/3
( k / 4 ) * z   -   k * z
( k /4 - k ) * z
- 3/4 * k * z
- 3/4  * k *  ( k / 4 )^1/3

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Vielen Dank georgborn jetzt hab ich's :)

und danke für das Kompliment :D

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Gern geschehen. Dann hat das Forum ja seinen Zweck, Verbesserung
der Mathekenntnisse, erfüllt. mfg Georg