Lineare (un-)abhängigkeit

Question

ich bin gerade am Algebra pauken und mal wieder an einen Punkt gelangt, an dem ich am liebsten in meinen Taschenrechner beißen würde.

Ich tippe einfach mal etwas von dem ab, was ich nicht kapiere:

"Bei der Lösung eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen können drei verschiedene Fälle auftreten:

1. Die Lösung des Gleichungssystems gelingt in eindeutiger Weise > Linear unabhängig.

2. Während der Rechnung verschwinden alle Variablen und es ergibt sich die Identität 0 = 0. > Linear abhängig.

3. Während der Rechnung verschwinden alle Variablen und es ergibt sich ein Widerspruch. > Linear abhängig."

Dazu gab es nun folgende Aufgabe:

Die drei Vektoren $$ \vec { a } =\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}$$ ,$$ \vec {b } =\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}$$  und $$  \vec { c } =\begin{matrix} -2 \\ -10 \\ 3 \end{matrix} $$ sind auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen.

Meine Rechnung: Hoffentlich könnt Ihr meine Sauklaue entziffern. War mir aber zuviel zu "latexen".

Und nun die Lösung im Heft:

Was habe ich falsch gemacht (Stellen markiert die ich nicht versteh). x und y sind nicht gleich und der Widerspruch bedeutet auf einmal doch nicht "linear abhängig" wie unter Punkt 3. beschrieben?

Hoffe mir kann wer weiterhelfen!

Comments

Hi,

Wenn du möchtest das kein Zeilenumbruch zustande kommt, sobald du LaTeX benutzt, dann nehme statt dem doppelten Dollarzeichen folgendes: \ ( ...LaTeX Code... \ ).

Wichtig: Die Leerzeichen zwischen der Klammer und dem Schrägstrich müssen weg, damit der LaTeX Code umgewandelt wird.

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"Bei der Lösung eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen können drei verschiedene Fälle auftreten:

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Hi, auf dem handgeschriebenen Zettel wird nachgeprüft, ob der Vektor c linear abhängig von den Vektoren a und b ist. Dazu wird nachgerechnet, ob sich c aus a und b linear kombinieren lässt. Dies ist offenbar nicht der Fall, da das entsprechende Gleichungssystem x*a+y*b=c auf einen Widerspruch führt und somit keine Lösung besitzt. Daraus folgt, dass der Vektor c linear unabhängig von den Vektoren a und b ist.

Answer 1

Das Ergebnis von Schritt 1 kommt in die erste Zeile und nicht in die dritte. In der dritten Zeile bleibt alles so wie anfangs.

Comments

Ist das nicht eigentlich egal?

Habe das bisher immer so gerechnet und mein früherer Lehrer war damit auch einverstanden.

(Hole den ganzen Stoff derzeit nach)

Aber wie ich in einer alten Arbeit gerade sehe, scheint das okay so zu sein:

Oder verstehe ich dich falsch?

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Leider ist mir die Sache noch immer nicht ganz klar.

Wäre super, wenn nochmal jemand drüberschauen könnte. :)

Answer 2

Ursprüngliche Frage.

Bild 1 und Bild 2: Gleiche Aufgabe und gleiche Lösungsidee.

Annahme: Der 3. Vektor ist eine Linearkombination von den ersten beiden Vektoren.

Nun wird versucht x und y auszurechnen.

Dass das nicht geht, sieht man daran, dass man auf einen Widerspruch kommt.

Die Folgerung muss in beiden Fällen sein, dass die Annahme falsch war. Die Folgerung in beiden Fällen ist auch dieselbe: Die 3 Vektoren sind lin. unabhängig. (-> Tippfehler im ersten Bild)

Bild 3 in deinem Kommentar: Anderes Verfahren: Vektoren in eine Matrix schreiben und diese Matrix auf Dreiecksform bringen. Da zum Schluss eine Nullzeile steht, sind die Vektoren linear abhängig.