Vier schlaue Leute treffen sich. Wie alt sind sie?

Question

Vier schlaue Personen treffen sich, da sagt der 1. es kommt die Zahl 37 heraus, wenn zu seinem Alter das arithmetische Mittel, der Durchschnitt der Alter der drei anderen, hinzuaddiert werden. Der 2. sagt, bei mir kommt dann 41 heraus, der 3. dann 43 und der 4. dann 49. Ergebnis ist: 13. 19,  22 und 31 Jahre sind sie alt, wie aber ist der Rechenweg?

Answer 1

Seien die Alter mal a, b, c, d

a + 1/3*b + 1/3*c + 1/3*d = 37
b + 1/3*a + 1/3*c + 1/3*d = 41
c + 1/3*a + 1/3*b + 1/3*d = 43
d + 1/3*a + 1/3*b + 1/3*c = 49

Ich multipliziere mal alle Gleichungen mit 3

3·a + b + c + d = 111
a + 3·b + c + d = 123
a + b + 3·c + d = 129
a + b + c + 3·d = 147

I - 3*IV, II - IV, III - IV

- 2·b - 2·c - 8·d = -330
2·b - 2·d = -24
2·c - 2·d = -18

I + II

- 2·c - 10·d = -354
2·c - 2·d = -18

I + II

- 12·d = -372
d = 31

Nun setzte ich die gefundenen Lösungen jeweils in Gleichungen mit einer zusätzlichen Unbekannten ein:

2·c - 2·31 = -18
c = 22

2·b - 2·31 = -24
b = 19

a + 19 + 22 + 3·31 = 147
a = 13

Die Personen sind also 13, 19, 22 und 31 Jahre alt.