gaußsche zahlenebene, alle lösungen von z^4

Question

Es sei z⁴ = -8 + 8√3i

Bestimmen sie alle Lösungen der Gleichung und tragen Sie diese in die Gaußsche Zahlenebene ein.

Answer 1

Zeichne dir zunächst mal -8 + 8·√3·i in die Zahlenebene ein und dann die Lösungen

z = - √3 - i ∨ z = √3 + i ∨ z = -1 + √3·i ∨ z = 1 - √3·i

Erkennst du einen Zusammenhang und wenn ja welchen?

Comments

Einen besonderen Zusammenhang zwischen der Aufgabe und den Lösungen erkenne ich nun nicht - die Lösungen ergeben, wie erwartet, ein Quadrat, mehr sagt es mir nicht.
Mein Problem ist derzeit die Rechnung. Wir hatten bisher relativ simple Aufgaben, die jetzige ist meiner Meinung nach ein enormer Sprung.
Mein anfänglicher Versuch hat schnell ein Ende gefunden:

z⁴ = -8 + 8·√3i

z = ⁴ √(-8 + 8·√3i)

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Welche Formate hattet ihr bisher. Kennst du für Komplexe Zahlen die e-Schreibweise

-8 + 8·√3·i = 16·e^{i·2/3·pi}

Davon die 4. Wurzel ziehen ist recht einfach. Wir brauchen nur die 4 Wurzel aus 16 ziehen und den Winkel im Exponenten vierteln

2·e^{i·1/6·pi} = √3 + i

Da es aber 4 Lösungen gibt können wir beim Winkel jetzt 3 mal einfach pi/2 addieren. So kommst du auf die Lösungen. Du kannst aber auch die oben erhaltene Lösung im Koordinatensystem drehen.