Wie ist die Stammfunktion von 1/(nln^αn)

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Wie ist die Stammfunktion von 1/(nln^αn)

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Ich geh mal davon aus, dass du die folgende Reihe

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot ln^\alpha(n)}$ in Abhängigkeit von Alpha auf die Konvergenz/Divergenz untersuchen willst mit dem Integralkriterium? Die Aufgabe kannst du soweit auch mit Schulwissen lösen (wenn du schon das Integralkriterium kennst).

Eine Stammfunktion zu $f(x) = \frac{1}{x \cdot ln^\alpha(x)}$

kannst du relativ einfach bilden, indem du die mit Hilfe der Substitution z = ln(x) vorgehst.

Ich würde dir aber empfehlen vorher schon eine Fallunterscheidung für alpha zu machen, damit du hinterher nicht auf ein falsches Ergebnis kommst.

Ich schreib hier extra keine Musterlösung, weil ich davon ausgehe, dass du die Aufgabe alleine schaffst

Gruß.

Beantwortet 11 Okt 2014 von Yakyu

Ok:

1. Fallunterscheidung an Hand der Summe:

ist alpha kleiner gleich 0 so gilt insbesondere für n> 2 das

$ln^{-\alpha}(n) > 1$

Dann gilt mit Hilfe der Abschätzung der harmonischen Reihe:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} <\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n} < \sum_{n=3}^{\infty} \frac{ln^{-\alpha}(n)}{n}$

Damit wissen wir schonmal das die Reihe für alpha kleiner gleich Null divergiert, aber schauen wir uns das ganze doch mit dem Integralkriterium nochmal an:

Da die Folge innerhalb der Reihe monoton fallend ist können wir die folgende Abschätzung machen

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \cdot ln^{\alpha}(x)} dx \leq \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ln^{-\alpha}(n)}{n} \leq \frac{1}{2ln^{\alpha}(2)} + \int_{1}^{\infty} \frac{2}{x \cdot ln^{\alpha}(x)} dx$

wir wollen also schon wann das unbestimmte Integral existiert (d.h. wann es endlich ist in Abhängigkeit von alpha)

mit Hilfe der Substitution

$z = ln(x)$

erhalten wir

$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{x} \Longrightarrow dx = xdz$

Substituieren wir das ganze so erhalten wir (ich lass die Grenzen erstmal weg da wir hinterher eh Resubstituieren.

$\int \frac{1}{x \cdot ln^{\alpha}(x)} dx = \int \frac{x}{xz^{\alpha}} dz = \int \frac{1}{z^{\alpha}} dz$

wenn wir jetzt die Stammfunktion bilden wollen. so müssen wir bei alpha aufpassen

$\int \frac{1}{z^{\alpha}} dz = [\frac{1}{- \alpha + 1} \cdot z^{-\alpha + 1} ]$ für $\alpha \neq 1$

was ist denn wenn alpha gleich eins ist?

dann war unser ursprüngliches Integral ja

$\int \frac{1}{z}dx = [ln(z)] = [ln(ln(x))] = \lim\limits_{b \to \infty} ln(ln(b)) - ln(2)$ und das divergiert

betrachten wir nun also den Fall das alpha ungleich 1 ist dann

$[\frac{1}{- \alpha + 1} \cdot z^{-\alpha + 1} ] = [\frac{1}{- \alpha + 1} \cdot ln(x)^{-\alpha + 1}]_{2}^{\infty} = \lim\limits_{b \to \infty} \frac{1}{- \alpha + 1} \cdot ln(b)^{-\alpha + 1} - \frac{1}{ -\alpha + 1} \cdot ln(2)^{-\alpha + 1}$

Hier siehst du nun direkt: Ist alpha < 1 dann ist der Exponent positiv und das Integral ist unendlich also divergiert die Reihe. Mit unserer 1. Fallunterscheidung ergibt sich also Divergenz der Reihe für alpha <=1

Ist alpha >1, dann ist der Exponent negativ und der Grenzwert geht gegen null. Also ist das unbestimmte Integral endlich und die Reihe konvergiert nach dem Integralkriterium.

Ich hoffe das klärt dies nun für dich.

Kommentiert 12 Okt 2014 von Yakyu

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