Vollständige Induktion Ungleichung: Zeige n^2 > n+1 für alle n>=2.

Question

ich stehe so spät am abend irgendwie ganz schön auf dem schlau....brauche eue hilfe :)  
zeige n^2 > n+1 für alle n>=2.  
IA: n=2 
  2^2 > 2+1 
  4 > 3 .  
 Passt IS: zz: (n+1)^2 > (n+1)+1 
// Jetzt habe ich alles vergessen, hilft mir auf die sprünge :D n^2 +2n + 1 > ??? Gruß pAtti

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Also weiter... ich komme bei n^2 + 2n + 1 > n + 1 + 2n + 1 ncht weiter // Ich weiß, dass ich jetzt einfach wieder alles auf n^2 > n+1 umstellen kann, aber dass kann doch kein beweis sein, dass ich beide Seiten | +2n +1 rechne um dann wieder | -2n -1 zu rechnen... auch ist vom logischen her klar n(n+1) > 1 was unten Lu angemerkt hat, und (n+1) = (n+1) klar, aber das ist doch kein beweis der direkten induktion oder täusche ich mich da jetzt?

Answer 1

n^2 > n + 1 für n ≥ 2

Induktionsanfang: Man zeigt, dass es für n = 2 gilt.

n^2 > n + 1

2^2 > 2 + 1

4 > 3

Damit ist der Induktionsanfang erfüllt.

Induktionsschritt: Man zeigt, dass es für n + 1 gilt wenn es für n gilt.

(n + 1)^2 > (n + 1) + 1

n^2 + 2n + 1 > n + 2

n^2 > 1 - n

Eigentlich kann man hier schon aufhören. Für n > 2 ist die linke Seite positiv und damit immer größer als die rechte Seite, die negativ ist.

Wir verwenden n^2 > n + 1

n + 1 > 1 - n

n > - n

Answer 2

Hi, 

du bist fast fertig, hast den wichtigsten Schritt vergessen: Das Verwenden der Induktionsvoraussetzung:

du gehst bei deinem Induktionsschritt ja davon aus, dass n² > n+1.

Jetzt  bei (n+1)² = n² + 2n + 1 > n+1+2n +1

wobei bei der ungleichung die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde. Ab hier kommst du weiter?

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Hallo Yakyu soweit war ich schon aber wenn ich nicht total bescheuert bin will ich 2n nicht durch 0 ersetzen....irgendwie ist die Aufgabe total unlogisch für mich...

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n > 0 gilt ja sowieso, also muss ja auch 2n > 0 sein ;).

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Also wird aus : (n+1)² > (n+1)+2n+1 | da n>0 , 2n >0 (n+1)² > (n+1)+1 und die 2n vergessen wir einfach somit ist die aufgabe gelöst=? ... das ist für mich als physiker unlogisch..::D ihr verrückten mathe greeks :D

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Da ist überhaupt nichts unlogisch dran, und wie vergessen die 2n nicht sondern stellen einfach eine den Annahmen entsprechend richtige Ungleichungsreihenfolge auf

sowie 5 > 3 > 1.

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Hmm bevor ich jetzt was falsches sage nochmal für mich dummy zum Verständnis.

Aus (n+1)²  > (n+1) + 2n + 1  wird .          

        (n+1)²  > (n+1) + 1 . | weil 2n > 0 ist und wir somit die >0 in die ungleichung eintragen ?  

    Also = (n+1) + "0" + 1.     ? 

Gruß

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Ja (aber lass bitte das Gleichheitszeichen an der Stelle weg, dass macht keinen Sinn).

Weil (n+1)² = n² + 2n +1 > n² +1 > (n+1) +1 => (n+1)² > (n+1) + 1

Vielleicht machts bei dir klick wenn du folgendes siehst

36 = 25 + 10 +1 > 25 + 0 + 1 > 25 + 1 

Answer 3

 IS: zz: (n+1)² > (n+1)+1

Beweis

(n+1)^2 = (n+1)(n+1)      |Distributivgesetz

= n(n+1) + 1*(n+1)

=n(n+1) + (n+1)         |Da n≥2

> 1 + (n+1)

Anmerkung: Ich brauche hier die Induktionsvoraussetzung gar nicht.

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Die Aufgabe ist auch an sich bescheuert einfach, ich denke aber, dass die Aufgabe dem Fragesteller als leichte Übung zur Anwendung der vollst. Induktion dienen soll.