Homogenes Gleichungssystem - Gauß

Question

-12x -6y + 12z = 0

           y  -     z  = 0

          2y  - 2z  = 0

Wenn man weiterrechnet, kommt man auf folgende Lösungen:

y = t              kein Problem, verstehe ich

x = 0.5          kein Problem, verstehe ich

z - 2t;  (1, 2, 2) was soll das sein, wie habe die das ausgerechnet (z - 2t)?

Answer 1

Gleichung 2 und 3 sind linear abhängig, das heisst das du unendlich viele Lösungen hast.

Die Lösungsmenge kannst du darstellen in dem du eine der Variablen als Parameter betrachtest.

in diesem konkreten Beispiel, wähle

z = t

aus Gleichung 2: y - z = 0 => y = z => y = t

Aus Gleichung 1: -12x-6y+12z => -12x-6t+12t = 0 => -12x = -6t => x = 0,5t

Also ist dein Lösungsraum ein dreidimensionaler Vektor der Form

L = {(0,5, 1, 1)*t |  t ∈ℝ}. Willst du den Vektor in ganzen Zahlen schreiben dann kannst du auch

(1,2,2)*t schreiben. 

Somit ist zwas die Lösung die du hast richtig aber x= 0,5 und y-2t machen keinen Sinn.