Bestimmen Sie für die Funktion f(x):= (x+1)/(x-1): Maximaler Definitionsbereich, Wertebereich, Graph, Umkehrfunktion

Question

Aufgabe Spezielle Funktion:

Bestimmen Sie für die Funktion $f$ aus $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ mit $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$

a) den (maximalen) Definitionsbereich und den Wertebereich von $f$.

b) Zeichnen Sie den Graphen von $f$.

c) Bestimmen Sie weiter den Wertebereich für die Einschränkungen $\left.f\right|_{(1, x)}$ und $\left.f\right|_{(2: 3]}$.

d) Für welche (größten) Intervalle $I \subseteq D(f)$ ist $f$ streng monoton fallend? (Begründung durch Nachrechnen)

e) Berechnen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ und geben Sie ihren Definitionsbereich an.

Answer 1

13. d)

f(x) = (x + 1)/(x - 1)

f'(x) = - 2/(x - 1)²

Nun ist gefragt wo die Funktion streng monoton fallend ist. Also in welchen Intervallen ist f'(x) < 0

f'(x) ist aber an allen stellen x ≠ 0 negativ, wie wir ablesen können. Daher sind die Intervalle

]-∞ ; 1[ und ]1 ; ∞[

Comments

Gehtvdas auch ohne ableiten?

Da wir es im studium zum dem zeitpunkt "nicht ableiten" koennen.

Klar kann ich schon ableiten^^

Aber ich meinte wir sollen ja nur mit den möglichkeiten machen die wir im unterricht haben sollten^^

Danke

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f(x) = (x + 1)/(x - 1) = 1 + 2/(x - 1)

Was passiert jetzt für x > 1. Der Nenner ist streng monotan steigend, weshalb der Bruch monoton fallend ist.

Was passiert fetzt für x < 1. Hier ist der Nenner monoton fallend, weshalb der Bruch monoton steigt. Durch das Minus geht sich das aber um und der Term ist monoton fallend.

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Der Mathecoach hat die Antwort schon gegeben.
Hier vielleicht etwas anders formuliert

( - 2 ) / ( x -1 )² < 0
Division durch 0 aussschließen x ≠ 1.

( x-1 )² ist stets positiv
( -2 ) / positiv ist stets negativ.

Die Aussage : ( - 2 ) / ( x -1 )² < 0 ist für alle x wahr.

Ergebnis ℝ \ { 1 }

Nachtrag : mein Kommentar bezog sich nicht auf die
letzten beiden Kommentare sondern  auf die 1.Antwort