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Die beiden Kathetenlängen eines rechtwinkeligen Dreiecks ergeben zusammen a cm.

Wie lang sind die Katheten zu wählen, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist?

Bitte mit Rechenfortschritte

Dank!!
von

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Die beiden Kathetenlängen eines rechtwinkeligen Dreiecks ergeben zusammen a cm. Wie lang sind die Katheten zu wählen, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist?

Vermutung: Die Katheten sind jeweils a/2 groß, damit sich ein halbes Quadrat ergibt.

Rechnung:

Seien die Katheten x und y dann ist der zu maximierende Flächeninhalt:

A = 1/2 * x * y

Weil unsere Hauptbedingung 2 Unbekannte hat braucht man eine Nebenbedingung um 2 Unbekannte auf 1 Unbekannte zu reduzieren. Nebenbedingung ist hier die Summe der Katheten:

x + y = a
y = a - x

Das setzen wir für die 2. Unbekannte y in die Gleichung ein

A = 1/2 * x * y = 1/2 * x * (a - x) = 0.5ax - 0.5x^2

Damit die Funktion maximal ist, muss die Ableitung Null sein.

A' = 0.5a - x = 0
x = 0.5a

Es muss ein maximum sein, da, A eine nach unten geöffnete Parabel ist, die nur ein Maximum und kein Minimum hat. Ich sehe hier also meine Vermutung bestätigt.

von 418 k 🚀

Gute Erklärung

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