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Aufgabe:

Grenzwert berechnen:

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { ({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }  }{ { n }^{ 2 } }  $$


Ansatz:

Meine Idee ist, den ln zu vereinfachen.

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { ({ e }^{ n }+{ e }^{ { e }^{ 2ln(n) } }) }  }{ { n }^{ 2 } }  $$

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3 Antworten

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Beste Antwort
Eigentlich wäre das doch ein schönes Beispiel für das Einschließungskriterium, oder?
In der Abschätzungskette
$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } } \le \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } } \le \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{{ n }^{ 2 }}+{ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } }$$ lassen sich die beiden äußeren Limiten leicht bestimmen und mit deren Gleichheit steht auch der mittlere fest. Die linke Seite wurde ja schon bestimmt, bleibt noch die rechte übrig.
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Hi,

Das ist gut :)
Edit: Hab mein Fehler entdeckt.

Genau!! Wie konnte ich nur den Einschnürungssatz vergessen.

aber wirklich schlau werde ich nicht draus.

$$ \frac { ln({ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ { e }^{ { n }^{ 2 } }+e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } }  $$

$$ \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2)+ln(e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2)+{ n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le ln(2)+1$$


habe ich was übersehen?

Ja da müsste stehen

$$ .. \leq \frac{ln(2)}{n^2} + 1 $$

Hatte ich auch zuerst übersehen ;)

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versuchs doch mal mit L'Hôpital und bisschen kürzen :)

Du kommst dann auf dasselbe Ergebnis wie Georg.


Gruß

Avatar von 23 k

leider darf ich L'Hopital nicht verwenden.


Gruß

Achso okay, dann mach die folgende Umformung für den Zähler

$$ ln(e^n + e^{n2}) = \ln \left( e^{n^2} \cdot (e^{n-n^2} + 1) \right) $$

Jetzt Logarithmusgesetze und Kürzen :)

Noch ein Tipp : \( e^{n-n^2} \to 0 \text{ für } n \to \infty \)

Ach na klar!!!

dann passt es ja.

$$ 1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln(2) }{ { n }^{ 2 } } +1 $$

mit

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln(2) }{ { n }^{ 2 } } +1\quad n\rightarrow \infty \quad 1$$

so kommt auch wegen den sandwichkriterium

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \quad n\rightarrow \infty \quad 1$$

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Ich bin von der 1 überzeugt.

nehmen wir einmal an wir hätten nur
ln(en^2) / n^2
der ln und e heben sich auf. Es bleibt
n^2 / n^2 = 1

in der Klammer steht jedoch
( e^n + en^2 ).
Der 1.Term wird bei größer werdendem n immer
unbedeutender. Erst recht bei n -> ∞

Bereits bei n = 4 ist das Gesamtergebnis 1.000000384.
Bereits bei n = 5 zeigt mein Mathe Programm 1 an.

Avatar von 122 k 🚀
So denke ich das auch. Nur muss ich es zeigen.
$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } }  $$
ist von Typ: $$ \frac { \infty  }{ \infty  } $$
durch umformen muss ich irgendwie auf das Ergebnis kommen. So dass am Ende ich sicher sein kann dass es 1 ist.
Gruß

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