Grenzwert / Limes von (1 - (1/(n^2))^3

Question

Kann ich Folgendes so argumentieren?

Mir ist bewusst, dass dies auch nur gilt, wenn a und b konvergente Folgen sind.

lim (a*b) = lim a   * lim b .

daher ist:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) * \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) * \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( I - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) = \left( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) \right) ^ { 3 } = \left( \lim _ { n \rightarrow \infty } ( 1 ) - \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) \right) ^ { 3 } = ( 1 - 0 ) ^ { 3 } = 1 ^ { 3 } = 1 $$

Comments

Ja. Ich sehe hier keine Probleme. Da ich aber eher Anwendungsmathematiker bin und das mit Beweisen nicht so habe, schreibe ich das nur als meinen Kommentar dazu.

Answer 1

Ich habe eine Äquivalente, wenn auch noch generellere Aussage im Script gefunden:

Das ist die allgemeinere Aussage.

Ich sehe keinen Fehler in deinem Beweis. Sehe aber nicht genau, wie du Wurzeln auf Potenzen einschränken darfst. Da verallgemeinerst du doch eher als, dass die Wurzelaussage eine allgemeinere Variante ist. Nur ist das mE  kein Problem hier.