Das ändert nichts daran, dass die Induktion schon in der geometrischen Summenformel verankert ist und nicht wiederholt werden müsste.
Das n ≥ m ist ja klar, weil die Summe sonst immer Null wäre. Wie man auf die Überlegung kommt:
(A) Summe von der Zahl m bis n: qm+qm+1+..+qn
(B) Summe von der Zahl 1 bis n: q1+q2+...+qm−1+qm+qm+1+....+qn
(C) Summe von der Zahl 1 bis m-1: q1+q2+...+qm−1
Es sollte offensichtlich sein, dass: B = C + A, und somit A = B - C
Du solltest dich ein wenig mehr mit dem Summenzeichen vertraut machen, anscheinend ist das noch nicht ganz klar.