Wie beweise ich die Stetigkeit einer Funktion?

Question

Hallo :)

ich frage mich, wie man eine funktion auf stetigkeit beweist? Also einfach beweisen, dass es stetig ist ..aber wie?

tut mir leid...ist wieder eine interesse frage:)

Answer 1

In der Schule lernt man eine Anzahl stetige Funktionen kennen. Z.B. die linearen Funktionen, die Polynome ,,,

Nun kann man die noch kombinieren: Z.B. gilt:

Addiert, subtrahiert oder multipliziert man 2 stetige Funktionen, ergibt sich wieder eine stetige Funktion.

Nun schaust du, ob die fragliche Funktion eine erlaubte Zusammensetzung von stetigen Funktionen ist.

An der Uni beginnst du in der Regel mit der formalen Definition der Stetigkeit und rechnest dann die Grenzwerte formal durch.

Comments

ja genau

eine stetige funktion wäre doch auch zb die e funktion, oder? also e^x?

ahh das mit der uni interessiert mich, aber das dauert noch ..

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Ja genau. y = e^x ist stetig auf ganz R.

y = 3+ x² ist auch stetig auf ganz R.

Daher ist auch

y = (3+x²)*e^x stetig auf ganz R.

usw.

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Ahh cool :)

Danke Lu :)

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Noch eine kleine Frage: wie würde man dann die stetigkeit zb einer linearen funktion beweisen? aslo wirklich mathematisch auch mit grenzwerten?

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Die Behauptung ist, dass $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=ax+b$ mit $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ und $b\in \mathbb{R}$ stetig für alle $\tilde x \in\mathbb{R}$ ist.

Zum Beweis:

Zu zeigen ist, dass für jedes gegebene $\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ (in Abhängigkeit von Epsilon!) gefunden werden kann, sodass, wenn $|x-\tilde x| < \delta$ gilt, auch $|f(x) - f(\tilde x)| < \varepsilon$ gilt.

Wir nehmen also ein beliebiges entsprechendes Epsilon und konstruieren das passende $\delta$.

Sei also $\varepsilon > 0$. Sei $|x-\tilde x| < \delta$ (*). Wie $\delta$ aussieht, sehen wir am Ende erst, das ist das gewöhnungsbedürftige bei $\varepsilon-\delta$-Beweisen. Es gilt $|f(x) - f(\tilde x)| = |ax+b-(a\tilde x + b)| = |ax+b-a\tilde x - b| = |ax-a\tilde x| = |a(x-\tilde x)| = |a||x-\tilde x|$.

Im letzten Schritt wurden die Rechenregeln für Beträge ausgenutzt. Per Voraussetzung (*) folgt nun, dass $|a||x-\tilde x| < |a|\delta$. Jetzt sieht man, dass man mit der Wahl von $\delta = \frac{\varepsilon}{|a|}$ insgesamt folgendes kriegt:

$$|f(x)-f(\tilde x)| = |a||x-\tilde x| < \delta |a| = \frac{\varepsilon}{|a|} |a| = \varepsilon~.$$

Und genau das wollten wir zeigen.

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Hallo LC,

woah krass danke:)

so sieht also ein beweis für eine stetige funktiion aus Oo

ist das aber IMMER pftlichtt, dass was in der 2.Zeile steht mit

"Zu zeigen ist, dass für jedes gegebene ....gillt"??

|f(x)-f(x|)=|ax+b-(ax+b)|=|ax+b-ax-b|= bis dahin versehe ich das, aber wie kommst du dann auf |ax-ax|?? wo ist b hin? Oo

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Ne das muss nicht unbedingt dahin, aber machts halt einfacher für den Leser, da dieser so sieht was jetzt gemacht wird. Das b ist weg, weil b-b=0.

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ahso ok :)

ahh ok dachte ich mir :)

aber +ax-ax  ist nicht 0 oder, weil das ist ja nicht gleich?

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Genau du hast ja ein mal $x$ und ein mal $\tilde x$ (x schlange). Letzteres ist die Stelle, an der die Funktion auf Stetigkeit überprüft wird. Da wir auf ganz $\mathbb{R}$ Stetigkeit zeigen wollten haben wir ein allgemeines $\tilde x$ genommen, kommt auch schon mal vor, dass man dann stattdessen da eine 1 oder 0 hat, wenn man z.B. auf Stetigkeit in 1 oder 0 untersucht. 

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ok gut :)

vielen dank für deine Hilfe :)

wäre es dann bei einer quadratischen funktion das selbe? Aslo der beweisweg? 

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Das Prinzip ist immer das selbe, bei anderen Funktionen wird natürlich der "Rechenweg" etwas anders und häufig muss man dann noch die ein oder andere Abschätzung vornehmen, beim Beispiel eben musste man ja nur ein bisschen zusammenfassen.

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ich wünschte ich könnte das auch so ohne probleme wie du^^

bin aber leider noch erst in der 11 :(

Danke für deine große Hilfe =)

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Kein Problem, und das kommt schon mit der Zeit, wenn du dich mit dem Zeug auseinandersetzst. Wenn du noch zur Schule gehst, sollten deine Prioritäten aber erst mal dort liegen.

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Ja hoffentlich :)

Ja ich gehe noch zur Schule. Ja das wird da bleiben..das war nur so eine interesse frage, die mich interessiert hat :)

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LC: Danke für's Einspringen!